Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2020

Cuestión 2.

Considere la matriz $A=\left(\begin{array}{cc}-1& -3\\ 1& 2\end{array}\right)$.

a) [1 p.] Calcule las potencias sucesivas $A^2$, $A^3$, $A^4$, $A^5$ y $A^6$.
b) [1 p.] Calcule $A^{2020}$.
c) [0,5 p.] Compruebe que la matriz $A$ es regular (o inversible) y calcule su inversa.

Multiplicamos la matriz por sí misma y observamos qué ocurre.

$A^2=\left(\begin{array}{cc}-1& -3\\ 1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-1& -3\\ 1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-2& -3\\ 1& 1\end{array}\right)$

$A^3=A^2\cdot A=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)=-I$

Llegados a $A^3=-I$, las demás potencias salen sin más multiplicaciones:

$A^4=-A=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ -1& -2\end{array}\right),A^5=-A^2=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ -1& -1\end{array}\right)$

$A^6=-A^3=I$

Las potencias de $A$ son, por tanto, periódicas de periodo seis.



Aprovechamos esa periodicidad: basta el resto de dividir el exponente entre seis.

$2020=6\cdot 336+4$

$A^{2020}={\left(A^6\right)}^{336}\cdot A^4=A^4=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ -1& -2\end{array}\right)$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{p.]}}\mathbf{\text{Compruebe}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathit{A}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{regular}}\mathbf{\text{(o}}\mathbf{\text{inversible)}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{inversa.}}$

Una matriz cuadrada es regular exactamente cuando su determinante no se anula.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}-1& -3\\ 1& 2\end{array}\mid =-2+3=1\mathrm{\ne }0$

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{1}}\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ -1& -1\end{array}\right)$

El resultado es coherente con lo anterior: como $A^6=I$, la inversa tiene que ser $A^5$, y en efecto coincide con la matriz obtenida.