Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2023

Cuestión 2.

Considere las siguientes matrices:
$A=\left(\begin{array}{cc}a& a\\ -1& a\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}-1& -4\\ 2& 3\end{array}\right)\text{y}C=\left(\begin{array}{cc}5& -6\\ -2& 3\end{array}\right)$
a) [0,5 p.] Determine para qué valores del parámetro $a$ la matriz $A$ es regular (o invertible).
Se sabe que cuando $a=-2$ la matriz $A$ es regular (o invertible). Para ese valor de $a$:
b) [1 p.] Calcule la inversa de $A$ y compruebe que $A\cdot A^{-1}=I$, con $I$ la matriz identidad de orden 2.
c) [1 p.] Resuelva la ecuación matricial $AX{A}^{-1}+B=C^{\mathrm{\top }}$, donde $C^{\mathrm{\top }}$ denota la matriz traspuesta de $C$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{p.]}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{a}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathit{A}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{regular}}\mathbf{\text{(o}}\mathbf{\text{invertible).}}$

Una matriz cuadrada es regular exactamente cuando su determinante no se anula.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}a& a\\ -1& a\end{array}\mid =a^2+a=a(a+1)$

$a(a+1)\mathrm{\ne }0⟺a\mathrm{\ne }0\text{ y }a\mathrm{\ne }-1$

La matriz $A$ es regular para todo valor del parámetro salvo $a=0$ y $a=-1$.



Para $a=-2$ la matriz queda $A=\left(\begin{array}{cc}-2& -2\\ -1& -2\end{array}\right)$, cuyo determinante vale $4-2=2\mathrm{\ne }0$. Aplicamos la fórmula de la inversa de una matriz de orden dos.

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}-2& 2\\ 1& -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ \frac{1}{2}& -1\end{array}\right)$

Comprobamos el resultado multiplicando:

$A\cdot A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-2& -2\\ -1& -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ \frac{1}{2}& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2-1& -2+2\\ 1-1& -1+2\end{array}\right)=I$



Despejamos $X$ respetando el lado por el que multiplicamos, ya que el producto de matrices no es conmutativo.

$AX{A}^{-1}=C^{\mathrm{\top }}-B\Rightarrow X=A^{-1}(C^{\mathrm{\top }}-B)A$

$C^{\mathrm{\top }}=\left(\begin{array}{cc}5& -2\\ -6& 3\end{array}\right),C^{\mathrm{\top }}-B=\left(\begin{array}{cc}6& 2\\ -8& 0\end{array}\right)$

Multiplicamos por pasos, primero por la izquierda:

$A^{-1}(C^{\mathrm{\top }}-B)=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ \frac{1}{2}& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}6& 2\\ -8& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-14& -2\\ 11& 1\end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{cc}-14& -2\\ 11& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-2& -2\\ -1& -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}30& 32\\ -23& -24\end{array}\right)$

La solución de la ecuación matricial es $X=\left(\begin{array}{cc}30& 32\\ -23& -24\end{array}\right)$.