Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2025

Pregunta 1.2. Sean la matriz $A=\left(\begin{array}{ccc}4& 1& 0\\ 2& 3& 0\\ 3& 2& 2\end{array}\right)$ e $I$ la matriz identidad de orden $3$. Se pide:

a) (1,25 puntos) Calcular el polinomio $P(\lambda )=\det (A-\lambda I)$ y hallar las raíces reales del polinomio.

b) (1,25 puntos) Para $\lambda =5$, calcular un vector no nulo $\vec{v}=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$ que satisfaga que $(A-\lambda I)\vec{v}=\vec{0}$.

Restar $\lambda I$ equivale a restar $\lambda$ a cada elemento de la diagonal principal. La tercera columna queda con dos ceros, así que desarrollamos el determinante por ella.

$A-\lambda I=\left(\begin{array}{ccc}4-\lambda & 1& 0\\ 2& 3-\lambda & 0\\ 3& 2& 2-\lambda \end{array}\right)$

$P(\lambda )=(2-\lambda )\mid \begin{array}{cc}4-\lambda & 1\\ 2& 3-\lambda \end{array}\mid =(2-\lambda )[(4-\lambda )(3-\lambda )-2]$

$P(\lambda )=(2-\lambda )({\lambda }^2-7\lambda +10)=-{\lambda }^3+9{\lambda }^2-24\lambda +20$

Las raíces salen de anular cada factor. El trinomio se resuelve con la fórmula habitual.

${\lambda }^2-7\lambda +10=0\Rightarrow \lambda ={\displaystyle \frac{7\pm \sqrt{9}}{2}}\Rightarrow \lambda =2,\lambda =5$

$P(\lambda )=-(\lambda -2{)}^2(\lambda -5)$

El polinomio tiene dos raíces reales: $\lambda =2$, que es doble, y $\lambda =5$, que es simple.



Como $\lambda =5$ anula el polinomio característico, el determinante de $A-5I$ es cero y el sistema homogéneo es compatible indeterminado: tiene soluciones distintas de la trivial, que es justo lo que se pide.

$A-5I=\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 0\\ 2& -2& 0\\ 3& 2& -3\end{array}\right)\Rightarrow \{\begin{array}{l}-x+y=0\\ 2x-2y=0\\ 3x+2y-3z=0\end{array}$

La segunda ecuación es la primera multiplicada por $-2$, de modo que solo hay dos ecuaciones independientes y queda un grado de libertad.

$y=x,3x+2x-3z=0\Rightarrow z={\displaystyle \frac{5x}{3}}$

$(x,y,z)=(t,t,\frac{5}{3}t),t\in \mathbb{R}$

Tomamos $t=3$ para evitar fracciones.

$\vec{v}=(3,3,5)$

Cualquier múltiplo no nulo de $(3,3,5)$ es también válido; se comprueba que $(A-5I)\vec{v}=\vec{0}$.