Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2026

Pregunta 1. Dada la matriz real $A=\left(\begin{array}{ccc}1& \lambda -2& \lambda \\ 0& 1& \lambda -1\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$, se pide:

a) (1 punto) Discutir el rango de $A$ en función del parámetro $\lambda$.

b) (1 punto) Para el caso $\lambda =2$, resolver la ecuación matricial $A^2-AX=I$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 3.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}\mathbf{\text{Discutir}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{rango}}\mathbf{\text{de}}\mathit{A}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{\lambda }\mathbf{\text{.}}$

El rango de una matriz cuadrada de orden tres vale 3 exactamente cuando su determinante no se anula, así que empezamos por calcularlo. Lo desarrollamos por la primera columna, que es la que tiene un cero.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& \lambda -2& \lambda \\ 0& 1& \lambda -1\\ 1& 0& 1\end{array}\mid =\mid \begin{array}{cc}1& \lambda -1\\ 0& 1\end{array}\mid +\mid \begin{array}{cc}\lambda -2& \lambda \\ 1& \lambda -1\end{array}\mid$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=1+[(\lambda -2)(\lambda -1)-\lambda ]={\lambda }^2-4\lambda +3$

Igualamos a cero para localizar los valores que hacen bajar el rango.

${\lambda }^2-4\lambda +3=0\Rightarrow \lambda ={\displaystyle \frac{4\pm \sqrt{16-12}}{2}}\Rightarrow \lambda =1,\lambda =3$

Para cualquier otro valor del parámetro el determinante es no nulo y el rango es máximo.

$\lambda \mathrm{\ne }1\text{ y }\lambda \mathrm{\ne }3\Rightarrow \mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{rg}(A)=3$

Queda por precisar cuánto vale el rango en los dos casos restantes. Buscamos un menor de orden dos no nulo; el formado por las dos primeras filas y las dos primeras columnas vale 1 sea cual sea $\lambda$.

$\mid \begin{array}{cc}1& \lambda -2\\ 0& 1\end{array}\mid =1\mathrm{\ne }0$

$\lambda =1\text{ o }\lambda =3\Rightarrow \mathrm{rg}(A)=2$

El rango de $A$ es 3 para todo valor del parámetro salvo $\lambda =1$ y $\lambda =3$, donde vale 2.



Sustituimos el valor del parámetro. Por el apartado anterior sabemos que el determinante no se anula, luego $A$ tiene inversa y podemos despejar $X$ multiplicando por la izquierda por $A^{-1}$.

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 1& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right),\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=(2-1)(2-3)=-1\mathrm{\ne }0$

$A^2-AX=I\Rightarrow AX=A^2-I\Rightarrow X=A^{-1}(A^2-I)=A-A^{-1}$

Basta entonces con calcular la inversa, que obtenemos por la matriz adjunta.

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }}}{(\mathrm{adj}A)}^t={\displaystyle \frac{1}{-1}}\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -2\\ 1& -1& -1\\ -1& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 2\\ -1& 1& 1\\ 1& 0& -1\end{array}\right)$

$X=A-A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 1& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 2\\ -1& 1& 1\\ 1& 0& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$

La solución de la ecuación matricial es esa matriz $X$, como se comprueba sin más que multiplicar y restar.