Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2020

Cuestión 8.

Dos urnas A y B contienen bolas de colores con la siguiente composicion: La urna A contiene 3 bolas verdes, 4 negras y 3 rojas, y la urna B contiene 6 bolas verdes y 4 bolas negras. Ademas, se tiene un dado que tiene 2 caras marcadas con la letra A y 4 caras marcadas con la letra B. Se lanza el dado y se saca una bola al azar de la urna que indica el dado.

a) [0,75 p.] Cual es la probabilidad de que esa bola sea verde?
b) [0,75 p.] Cual es la probabilidad de que esa bola sea roja?
c) [1 p.] Si bola extraida es verde, cual es la probabilidad de que proceda de la urna B?

El dado tiene 2 caras con la letra $A$ y 4 con la $B$, así que decide la urna con estas probabilidades:

$P(A)={\displaystyle \frac{2}{6}}={\displaystyle \frac{1}{3}},P(B)={\displaystyle \frac{4}{6}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$

Cada urna tiene diez bolas: la $A$ con 3 verdes, 4 negras y 3 rojas, y la $B$ con 6 verdes y 4 negras, sin ninguna roja.



$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{p.]}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{esa}}\mathbf{\text{bola}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{verde?}}$

Las dos urnas forman un sistema completo, así que aplicamos el teorema de la probabilidad total sumando las ramas que acaban en verde.

$P(V)={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{10}}+{\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{6}{10}}={\displaystyle \frac{3+12}{30}}={\displaystyle \frac{15}{30}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

La probabilidad de sacar bola verde es exactamente $\mathrm{0,5}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{p.]}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{esa}}\mathbf{\text{bola}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{roja?}}$

Procedemos igual, teniendo en cuenta que en la urna $B$ no hay bolas rojas y esa rama no aporta nada.

$P(R)={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{10}}+{\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot 0={\displaystyle \frac{3}{30}}={\displaystyle \frac{1}{10}}$

Solo un $10\mathrm{\%}$ de las extracciones da bola roja, pese a que la urna $A$ tiene tantas rojas como verdes: el dado favorece a la otra urna.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{p.]}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{bola}}\mathbf{\text{extra}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{da}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{verde,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{proceda}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{urna}}\mathit{B}\mathbf{\text{?}}$

Se conoce el color y se pregunta por la urna, es decir, por una probabilidad a posteriori: aplicamos el teorema de Bayes con el denominador del apartado a).

$P(B\mid V)={\displaystyle \frac{P(B)P(V\mid B)}{P(V)}}={\displaystyle \frac{\frac{2}{3}\cdot \frac{6}{10}}{\frac{1}{2}}}$

$P(B\mid V)={\displaystyle \frac{2\mathrm{/}5}{1\mathrm{/}2}}={\displaystyle \frac{4}{5}}=\mathrm{0,8}$

Cuatro de cada cinco bolas verdes proceden de la urna $B$.