Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2022

Cuestión 7.

Un estudio publicado en Environmental, Science and Technology ha revelado que la probabilidad de contraer el Covid-19 en el interior de restaurantes es 0,45. Ademas, según los datos de las Naciones Unidas, en el mundo hay actualmente un 50,5 % de hombres y un 49,5 % de mujeres.
a) [0,5 p.] Suponiendo que los sucesos "contraer el Covid-19 en el interior de restaurantes" y "ser mujer" sean independientes, calcule la probabilidad de que una persona elegida al azar sea mujer y contraiga el Covid-19 en el interior de restaurantes.
b) [1 p.] En el mismo supuesto que en el apartado a), calcule la probabilidad de que una persona elegida al azar no sea mujer o no contraiga el Covid-19 en el interior de restaurantes.
c) [1 p.] Si se eligen 8 personas al azar, ¿cual es la probabilidad de que al menos 4 de ellas contraigan el Covid-19 en el interior de restaurantes?

Llamamos $C$ al suceso "contraer el Covid-19 en el interior de restaurantes" y $M$ a "ser mujer".

$P(C)=\mathrm{0,45},P(M)=\mathrm{0,495},P(\bar{M})=\mathrm{0,505}$



$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{p.]}}\mathbf{\text{Suponiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{sucesos}}\mathbf{\text{"contraer}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{Covid-19}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{interior}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{restaurantes"}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{"ser}}\mathbf{\text{mujer"}}\mathbf{\text{sean}}\mathbf{\text{independientes,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{persona}}\mathbf{\text{elegida}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{mujer}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{contraiga}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{Covid-19}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{interior}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{restaurantes.}}$

Al ser independientes, la probabilidad de la intersección es el producto de las probabilidades.

$P(M\cap C)=P(M)\cdot P(C)=\mathrm{0,495}\cdot \mathrm{0,45}=\mathrm{0,22275}$

Algo más de un $22\mathrm{\%}$ de la población son mujeres que contraerían el virus en un restaurante.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{p.]}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{mismo}}\mathbf{\text{supuesto}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{apartado}}\mathbf{\text{a),}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{persona}}\mathbf{\text{elegida}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{mujer}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{contraiga}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{Covid-19}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{interior}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{restaurantes.}}$

Por las leyes de De Morgan, la unión de los contrarios es el contrario de la intersección, así que basta restar de la unidad el resultado anterior.

$P(\bar{M}\cup \bar{C})=1-P(M\cap C)=1-\mathrm{0,22275}=\mathrm{0,77725}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{p.]}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{eligen}}\mathbf{\text{8}}\mathbf{\text{personas}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{4}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ellas}}\mathbf{\text{contraigan}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{Covid-19}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{interior}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{restaurantes?}}$

Cada persona contrae o no el virus de forma independiente, con probabilidad constante, así que el número de contagiados entre las ocho sigue una binomial.

$X\sim B(8;\mathrm{0,45})$

$P(X\ge 4)={\sum }_{k=4}^8\left(\genfrac{}{}{0px}{}{8}{k}\right)(\mathrm{0,45}{)}^k(\mathrm{0,55}{)}^{8-k}$

Calculamos los cinco términos:

$P(X=4)=\mathrm{0,2627},P(X=5)=\mathrm{0,1719},P(X=6)=\mathrm{0,0703}$

$P(X=7)=\mathrm{0,0164},P(X=8)=\mathrm{0,0017}$

$P(X\ge 4)=\mathrm{0,5230}$

La probabilidad de que al menos cuatro de las ocho personas se contagien es $\mathrm{0,5230}$, algo más de la mitad.