Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

Cuestión 5.

Considere los puntos $P=(5,6,1)$ y $Q=(-3,-2,5)$, y la recta
$r:{\displaystyle \frac{x}{1}}={\displaystyle \frac{y-1}{1}}={\displaystyle \frac{z+1}{4}}$.

a) [1,5 p.] Determine el punto $R$ de la recta $r$ para el cual el area del triangulo $\widehat{PQR}$ es $18\sqrt{2}$ unidades cuadradas. Observacion: hay dos puntos $R$ que son solución del apartado a); basta con encontrar uno de ellos.
b) [1 p.] Calcule la ecuación de la recta que pasa por los puntos $P$ y $Q$ y compruebe que dicha recta corta perpendicularmente a la recta $r$.

La recta pasa por $A(0,1,-1)$ y tiene vector director ${\vec{d}}_r=(1,1,4)$.



Escribimos un punto genérico de la recta y los dos lados del triángulo que parten de $P$.

$R=(t,1+t,-1+4t)$

$\overrightarrow{PQ}=(-8,-8,4),\overrightarrow{PR}=(t-5,t-5,4t-2)$

El área es la mitad del módulo del producto vectorial, así que lo calculamos dejando el parámetro sin sustituir.

$\overrightarrow{PQ}\times \overrightarrow{PR}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ -8& -8& 4\\ t-5& t-5& 4t-2\end{array}\mid =36(1-t)(1,-1,0)$

$\mid \overrightarrow{PQ}\times \overrightarrow{PR}\mid =36\sqrt{2}\mathrm{\mid }t-1\mathrm{\mid }$

$S={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 36\sqrt{2}\mathrm{\mid }t-1\mathrm{\mid }=18\sqrt{2}\mathrm{\mid }t-1\mathrm{\mid }$

Imponemos la condición del enunciado:

$18\sqrt{2}\mathrm{\mid }t-1\mathrm{\mid }=18\sqrt{2}\Rightarrow \mathrm{\mid }t-1\mathrm{\mid }=1\Rightarrow t=0\text{ o }t=2$

$R_1(0,1,-1),R_2(2,3,7)$

Hay, en efecto, dos puntos válidos; basta dar uno, por ejemplo $R(2,3,7)$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{p.]}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{pasa}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathit{P}\mathbf{\text{y}}\mathit{Q}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{compruebe}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{dicha}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{corta}}\mathbf{\text{perpendicularmente}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{r}\mathbf{\text{.}}$

El director de la recta que une los dos puntos es $\overrightarrow{PQ}$, que simplificamos dividiendo entre $-4$.

${\vec{d}}_s=(2,2,-1)$

$s:{\displaystyle \frac{x-5}{2}}={\displaystyle \frac{y-6}{2}}={\displaystyle \frac{z-1}{-1}}$

Cortarse perpendicularmente exige dos cosas: que las direcciones sean ortogonales y que las rectas tengan un punto común. Comprobamos primero lo uno:

${\vec{d}}_s\cdot {\vec{d}}_r=2+2-4=0$

Y ahora lo otro, igualando las paramétricas de ambas:

$1-\lambda =-1+4(5+2\lambda )\Rightarrow 9\lambda =-18\Rightarrow \lambda =-2$

$I=(1,2,3)$

Las dos rectas se cortan en el punto $I(1,2,3)$ y sus direcciones son ortogonales: la recta $s$ corta perpendicularmente a $r$.