Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2021

Cuestión 6.

Los puntos $A=(2,0,0)$ y $B=(-1,12,4)$ son dos vertices de un triangulo. El tercer vertice $C$ se encuentra en la recta $r$ dada por
$r:\{\begin{array}{l}4x+3z=33\\ y=0\end{array}$

a) [1,5 p.] Calcule las coordenadas del tercer vertice $C$ sabiendo que la recta $r$ es perpendicular a la recta que pasa por $A$ y $C$.

b) [1 p.] Determine si el triangulo $\widehat{ABC}$ tiene un ángulo recto en $A$ y calcule su area.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{p.]}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{coordenadas}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{tercer}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtice}}\mathit{C}\mathbf{\text{sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{r}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{perpendicular}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{pasa}}\mathbf{\text{por}}\mathit{A}\mathbf{\text{y}}\mathit{C}\mathbf{\text{.}}$

Escribimos primero la recta en paramétricas. Su director es el producto vectorial de las normales de los dos planos que la definen.

$\vec{u}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 4& 0& 3\\ 0& 1& 0\end{array}\mid =(-3,0,4)$

Haciendo $x=0$ resulta $z=11$, así que la recta pasa por $P_0(0,0,11)$ y un punto genérico suyo es

$C(-3t,0,11+4t)$

La condición del enunciado dice que $\overrightarrow{AC}$ ha de ser perpendicular al director de la recta, es decir, que $C$ es el pie de la perpendicular trazada desde $A$.

$\overrightarrow{AC}=(-3t-2,0,11+4t)$

$\overrightarrow{AC}\cdot \vec{u}=9t+6+44+16t=25t+50=0\Rightarrow t=-2$

$C(6,0,3)$

Comprobamos que cumple las dos ecuaciones de la recta: $4\cdot 6+3\cdot 3=33$ y $y=0$.

El tercer vértice del triángulo es $C(6,0,3)$.





El ángulo en $A$ es recto cuando los dos lados que salen de ese vértice son perpendiculares.

$\overrightarrow{AB}=(-3,12,4),\overrightarrow{AC}=(4,0,3)$

$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=-12+0+12=0$

El producto escalar se anula, luego el triángulo es rectángulo en $A$ y esos dos lados son sus catetos: el área es su semiproducto.

$\mid \overrightarrow{AB}\mid =\sqrt{9+144+16}=\sqrt{169}=13$

$\mid \overrightarrow{AC}\mid =\sqrt{16+0+9}=\sqrt{25}=5$

$S={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 13\cdot 5={\displaystyle \frac{65}{2}}$

El triángulo tiene un ángulo recto en $A$ y su área vale $\mathrm{32,5}$ unidades cuadradas.