Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2021

Cuestión 5.

Considere los planos de ecuaciones ${\pi }_1:x-y+z=0$ y ${\pi }_2:x+y-z=2$.

a) [1 p.] Compruebe que los planos se cortan y calcule la ecuación de la recta $r$ determinada por la intersección de ambos planos.

b) [1,5 p.] Compruebe que el punto $A=(3,2,1)$ no está en ${\pi }_1$ ni en ${\pi }_2$ y calcule la ecuación del plano ${\pi }_3$ que contiene a la recta $r$ y pasa por el punto $A$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{p.]}}\mathbf{\text{Compruebe}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{planos}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{cortan}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{r}\mathbf{\text{determinada}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{intersecci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ambos}}\mathbf{\text{planos.}}$

Los vectores normales de los dos planos son

${\vec{n}}_1=(1,-1,1),{\vec{n}}_2=(1,1,-1)$

y no son proporcionales, luego los planos no son paralelos y se cortan en una recta. Su dirección es perpendicular a las dos normales.

$\vec{d}={\vec{n}}_1\times {\vec{n}}_2=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& -1& 1\\ 1& 1& -1\end{array}\mid =(0,2,2)\parallel (0,1,1)$

Para el punto de paso resolvemos el sistema: sumando las dos ecuaciones sale $2x=2$, y tomando $z=0$ en la primera queda $y=1$.

$r:\{\begin{array}{l}x=1\\ y=1+\lambda \\ z=\lambda \end{array},\lambda \in \mathbb{R}$





Sustituimos las coordenadas del punto en cada plano.

${\pi }_1:3-2+1=2\mathrm{\ne }0$

${\pi }_2:3+2-1=4\mathrm{\ne }2$

El punto no pertenece a ninguno de los dos. Como la recta es la intersección de ambos, todos los planos que la contienen forman el haz

$(x-y+z)+t(x+y-z-2)=0$

y basta imponer que uno de ellos pase por $A$ para fijar el parámetro.

$2+2t=0\Rightarrow t=-1$

$(x-y+z)-(x+y-z-2)=0\Rightarrow -2y+2z+2=0$

El plano pedido es ${\pi }_3:y-z=1$. Lo comprobamos: contiene el punto $(1,1,0)$ de la recta, su normal $(0,1,-1)$ es perpendicular al director $(0,1,1)$ y el punto $A$ lo verifica, pues $2-1=1$.