Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

Cuestión 5.

Considere las siguientes rectas:
$r:{\displaystyle \frac{x+2}{-1}}={\displaystyle \frac{y-3}{1}}={\displaystyle \frac{z}{0}}$ y $s:\{\begin{array}{l}x-z=0\\ y=1\end{array}$
a) [1 p.] Estudie la posición relativa de ambas rectas.
b) [1,5 p.] En caso de que las rectas se corten, calcule la ecuación del plano que las contiene y el ángulo que forman ambas rectas. En caso de que las rectas se crucen, calcule la perpendicular común a ambas rectas.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{p.]}}\mathbf{\text{Estudie}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{relativa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ambas}}\mathbf{\text{rectas.}}$

De la forma continua de $r$ leemos su punto y su director; el de $s$ sale del producto vectorial de las normales de los dos planos que la definen.

$P_r(-2,3,0),\vec{u}=(-1,1,0)$

$\vec{v}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 0& -1\\ 0& 1& 0\end{array}\mid =(1,0,1),P_s(0,1,0)$

Los directores no son proporcionales, luego las rectas no son paralelas. Para saber si se cortan o se cruzan estudiamos el producto mixto con el vector que une los dos puntos.

$\overrightarrow{P_r{P}_s}=(2,-2,0)$

$[\overrightarrow{P_r{P}_s},\vec{u},\vec{v}]=\mid \begin{array}{ccc}2& -2& 0\\ -1& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\mid =2-2=0$

El producto mixto se anula, así que los tres vectores son coplanarios: las rectas están en un mismo plano y, al no ser paralelas, se cortan. Hallamos el punto común sustituyendo las paramétricas de $r$ en las ecuaciones de $s$:

$3+t=1\Rightarrow t=-2\Rightarrow I(0,1,0)$

Las rectas $r$ y $s$ se cortan en el punto $I(0,1,0)$.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{p.]}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{caso}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{rectas}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{corten,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{contiene}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{forman}}\mathbf{\text{ambas}}\mathbf{\text{rectas.}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{caso}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{rectas}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{crucen,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{perpendicular}}\mathbf{\text{com}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{ambas}}\mathbf{\text{rectas.}}$

Estamos en el primer caso. El plano que las contiene queda determinado por el punto de corte y los dos directores, y su normal es el producto vectorial de ambos.

$\vec{n}=\vec{u}\times \vec{v}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ -1& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\mid =(1,1,-1)$

$1(x-0)+1(y-1)-1(z-0)=0\Rightarrow \pi :x+y-z-1=0$

El ángulo entre las rectas se obtiene del coseno de sus directores, tomando valor absoluto para quedarnos con el ángulo agudo.

$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\vec{u}\cdot \vec{v}\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }\vec{u}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\vec{v}\mathrm{\mid }}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }-1\mathrm{\mid }}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

$\alpha ={60}^{\circ }$

Las dos rectas están contenidas en el plano $\pi :x+y-z-1=0$ y forman entre sí un ángulo de ${60}^{\circ }$.