Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

Cuestión 6.

Considere los puntos $A=(1,-1,2)$ y $B=(3,5,2)$.
a) [1,5 p.] Determine la ecuación del plano $\pi$ perpendicular al segmento AB y que pasa por el punto medio de dicho segmento.
b) [1 p.] Calcule la distancia del punto A al plano $\pi$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{p.]}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{perpendicular}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{segmento}}\mathbf{\text{AB}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{pasa}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{medio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{segmento.}}$

Que el plano sea perpendicular al segmento significa que el vector $\overrightarrow{AB}$ es su vector normal, y el punto de paso es el punto medio.

$\overrightarrow{AB}=(2,6,0)$

$M=({\displaystyle \frac{1+3}{2}},{\displaystyle \frac{-1+5}{2}},{\displaystyle \frac{2+2}{2}})=(2,2,2)$

$2(x-2)+6(y-2)+0(z-2)=0$

$2x+6y-16=0$

Dividiendo entre dos queda la ecuación más sencilla, $\pi :x+3y-8=0$: es el plano mediador del segmento.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{p.]}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{.}}$

Aplicamos la fórmula de la distancia de un punto a un plano.

$d(A,\pi )={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }1\cdot 1+3\cdot (-1)+0\cdot 2-8\mathrm{\mid }}{\sqrt{1^2+3^2+0^2}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }-10\mathrm{\mid }}{\sqrt{10}}}$

$d(A,\pi )={\displaystyle \frac{10}{\sqrt{10}}}=\sqrt{10}$

La distancia del punto $A$ al plano es $\sqrt{10}\approx \mathrm{3,16}$ unidades de longitud. El resultado es coherente: al ser $\pi$ el plano mediador, esa distancia tiene que ser la mitad de la longitud del segmento, ${\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{40}=\sqrt{10}$.