Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2021

Cuestión 5.

Considere las rectas de ecuaciones
$r:{\displaystyle \frac{x-1}{1}}={\displaystyle \frac{y}{1}}={\displaystyle \frac{z-1}{-1}}$ y $s:\{\begin{array}{l}x-2y=-1\\ y+z=1\end{array}$

a) [0,75 p.] Compruebe que las rectas se cortan en un punto y calcule su punto de corte.

b) [1 p.] Determine el ángulo que forman las dos rectas.

c) [0,75 p.] Calcule la ecuación del plano que contiene a las dos rectas.

Escribimos cada recta con un punto y un vector director. La primera viene en forma continua; para la segunda tomamos $y=t$ en su sistema.

$A(1,0,1),\vec{u}=(1,1,-1)$

$B(-1,0,1),\vec{v}=(2,1,-1)$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{p.]}}\mathbf{\text{Compruebe}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{rectas}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{cortan}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{corte.}}$

Los directores no son proporcionales, así que las rectas no son paralelas. Para saber si se cortan o se cruzan calculamos el producto mixto con el vector que une los dos puntos.

$\overrightarrow{AB}=(-2,0,0)$

$[\vec{u},\vec{v},\overrightarrow{AB}]=\mid \begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 2& 1& -1\\ -2& 0& 0\end{array}\mid =-2\cdot 0=0$

El producto mixto se anula, luego son coplanarias y, al no ser paralelas, se cortan. Igualamos las paramétricas de ambas:

$1+\lambda =2t-1,\lambda =t\Rightarrow t=\lambda =2$

$P(3,2,-1)$

Las dos rectas se cortan en el punto $P(3,2,-1)$.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{p.]}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{forman}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{rectas.}}$

El ángulo entre dos rectas es el de sus directores, tomando el coseno en valor absoluto para quedarnos con el agudo.

$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\vec{u}\cdot \vec{v}\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }\vec{u}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\vec{v}\mathrm{\mid }}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }2+1+1\mathrm{\mid }}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{6}}}={\displaystyle \frac{4}{\sqrt{18}}}$

$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{4}{3\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}\approx \mathrm{0,9428}$

$\alpha =\arccos {\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}\approx {\mathrm{19,47}}^{\circ }$

Las rectas forman un ángulo de unos ${19}^{\circ }{28}^{\mathrm{\prime }}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{p.]}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{contiene}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{rectas.}}$

Al cortarse, las dos rectas determinan un único plano, que pasa por el punto de corte y tiene como directores los de ambas; su normal es el producto vectorial.

$\vec{n}=\vec{u}\times \vec{v}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 1& -1\\ 2& 1& -1\end{array}\mid =(0,-1,-1)\parallel (0,1,1)$

$y+z+D=0,P(3,2,-1)\Rightarrow 2-1+D=0\Rightarrow D=-1$

El plano que contiene a las dos rectas es $\pi :y+z=1$. Lo comprobamos: los puntos $A$ y $B$ lo cumplen y la normal es perpendicular a los dos directores.