Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2021

Ejercicio B5
La estatura de los individuos de una población sigue una distribución normal de media 1,74 m y desviación típica 0,05 m. Se elige un individuo al azar.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga una estatura igual o inferior a la media?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que su estatura esté comprendida entre 1,64 y 1,84 m?
c) Si la población está compuesta por 1500 individuos, ¿cuántos tienen una estatura inferior a 1,54 m?

Llamamos $X$ a la estatura de un individuo de la población. Según el enunciado se distribuye de forma normal:

$X\sim N(\mu ,\sigma )=N(\mathrm{1,74};\mathrm{0,05})$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{tenga}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{estatura}}\mathbf{\text{igual}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{inferior}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{media?}}$

No hace falta ningún cálculo: la campana de Gauss es simétrica respecto de la media, de modo que esta deja exactamente la mitad del área a cada lado.

$P(X\le \mathrm{1,74})=P(X\le \mu )=\mathrm{0,5}$

La probabilidad es $\mathrm{0,5}$, es decir, un $50\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{estatura}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{comprendida}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{1,64}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{1,84}}\mathbf{\text{m?}}$

Tipificamos los dos extremos del intervalo.

$Z={\displaystyle \frac{X-\mu }{\sigma }}={\displaystyle \frac{X-\mathrm{1,74}}{\mathrm{0,05}}}\sim N(0,1)$

$P(\mathrm{1,64}<X<\mathrm{1,84})=P({\displaystyle \frac{\mathrm{1,64}-\mathrm{1,74}}{\mathrm{0,05}}}<Z<{\displaystyle \frac{\mathrm{1,84}-\mathrm{1,74}}{\mathrm{0,05}}})$

$=P(-2<Z<2)$

El intervalo es simétrico respecto del cero, así que se puede usar la fórmula del área central:

$P(-2<Z<2)=2\mathrm{\Phi }(2)-1=2\cdot \mathrm{0,9772}-1=\mathrm{0,9544}$

La probabilidad es $\mathrm{0,9544}$: un $\mathrm{95,44}\mathrm{\%}$ de la población mide entre $\mathrm{1,64}$ y $\mathrm{1,84}$, que son las dos desviaciones típicas en torno a la media.



$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{poblaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{compuesta}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{1500}}\mathbf{\text{individuos,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{tienen}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{estatura}}\mathbf{\text{inferior}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{1,54}}\mathbf{\text{m?}}$

Tipificamos ese valor:

$P(X<\mathrm{1,54})=P(Z<{\displaystyle \frac{\mathrm{1,54}-\mathrm{1,74}}{\mathrm{0,05}}})=P(Z<-4)$

Un valor tipificado de $-4$ queda a cuatro desviaciones típicas por debajo de la media, tan lejos que la tabla de la normal ya no lo recoge: el área que deja a su izquierda es prácticamente nula.

$P(Z<-4)\approx 0$

Multiplicando por el tamaño de la población:

$1500\cdot 0\approx 0$

Ningún individuo de la población tiene una estatura inferior a $\mathrm{1,54}$ m.