Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2022

Ejercicio B5
El peso (en gramos) de una pieza fabricada en serie sigue una distribución normal de media 52 y desviación típica 6,5.

(a) Calcula la probabilidad de que el peso de una pieza fabricada esté comprendido entre 50 y 68 gramos.
(b) Si el 30 % de las piezas fabricadas pesa más que una pieza dada, ¿cuánto pesa esta última?

Llamamos $X$ al peso, en gramos, de una pieza fabricada. Según el enunciado se distribuye de forma normal:

$X\sim N(\mu ,\sigma )=N(52;\mathrm{6,5})$

$\mathbf{\text{(a)}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{peso}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{pieza}}\mathbf{\text{fabricada}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{comprendido}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{50}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{68}}\mathbf{\text{gramos.}}$

Tipificamos los dos extremos del intervalo para poder usar la tabla de la normal estándar.

$Z={\displaystyle \frac{X-\mu }{\sigma }}={\displaystyle \frac{X-52}{\mathrm{6,5}}}\sim N(0,1)$

$P(50<X<68)=P({\displaystyle \frac{50-52}{\mathrm{6,5}}}<Z<{\displaystyle \frac{68-52}{\mathrm{6,5}}})$

$=P(-\mathrm{0,31}<Z<\mathrm{2,46})=\mathrm{\Phi }(\mathrm{2,46})-\mathrm{\Phi }(-\mathrm{0,31})$

El extremo negativo no está en la tabla, así que se lleva al semieje positivo por simetría:

$\mathrm{\Phi }(-\mathrm{0,31})=1-\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,31})=1-\mathrm{0,6217}=\mathrm{0,3783}$

$P(50<X<68)=\mathrm{0,9931}-\mathrm{0,3783}=\mathrm{0,6148}$

La probabilidad de que una pieza pese entre $50$ y $68$ gramos es $\mathrm{0,6148}$, es decir, un $\mathrm{61,48}\mathrm{\%}$.



$\mathbf{\text{(b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{30\%}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{piezas}}\mathbf{\text{fabricadas}}\mathbf{\text{pesa}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{pieza}}\mathbf{\text{dada,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{pesa}}\mathbf{\text{esta}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{ltima?}}$

Ahora se conoce la probabilidad y lo que se busca es el peso, así que el proceso es el inverso: se localiza el valor tipificado en la tabla y después se deshace el cambio. Llamamos $k$ al peso pedido.

$P(X>k)=\mathrm{0,30}\Rightarrow P(X\le k)=\mathrm{0,70}$

$P(Z\le {\displaystyle \frac{k-52}{\mathrm{6,5}}})=\mathrm{0,70}$

Buscando en la tabla el valor cuya probabilidad acumulada es $\mathrm{0,70}$:

${\displaystyle \frac{k-52}{\mathrm{6,5}}}=\mathrm{0,52}$

Despejando:

$k=52+\mathrm{0,52}\cdot \mathrm{6,5}=52+\mathrm{3,38}=\mathrm{55,38}$

La pieza pesa $\mathrm{55,38}$ gramos: el $30\mathrm{\%}$ de las piezas fabricadas pesa más que ella.