Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2023

8. Estadística y Probabilidad:

a) En un cierto humedal, la probabilidad de que un renacuajo llegue a rana adulta es del 2%. Si se escogen al azar 2500 de esos renacuajos, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 55 de ellos lleguen a ranas adultas?
b) Para conceder becas de estudio, un organismo valora los méritos presentados y asigna a cada candidato una puntuación que indica más méritos cuanto mayor es su valor. Este año, la puntuación sigue una distribución normal de media 100 y desviación típica 20, y se toma la decisión de conceder la beca al 5% mejor del conjunto de solicitantes. ¿Qué puntuación es preciso alcanzar para obtener la beca?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{cierto}}\mathbf{\text{humedal,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{renacuajo}}\mathbf{\text{llegue}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{rana}}\mathbf{\text{adulta}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{2\%.}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{escogen}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{2500}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{esos}}\mathbf{\text{renacuajos,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{55}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ellos}}\mathbf{\text{lleguen}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{ranas}}\mathbf{\text{adultas?}}$

Sea $X$ el número de renacuajos, de entre los 2500, que llegan a rana adulta. Cada uno lo consigue o no con probabilidad constante e independientemente de los demás, luego

$X\sim B(2500;\mathrm{0,02})$

Calcular directamente $P(X\ge 55)$ obligaría a sumar más de dos mil términos. Como el número de pruebas es grande, aproximamos la binomial por una normal, lo que es lícito porque

$np=2500\cdot \mathrm{0,02}=50>5nq=2500\cdot \mathrm{0,98}=2450>5$

$\mu =np=50\sigma =\sqrt{npq}=\sqrt{2500\cdot \mathrm{0,02}\cdot \mathrm{0,98}}=\sqrt{49}=7$

$X\sim B(2500;\mathrm{0,02})⟶X^{\mathrm{\prime }}\sim N(50,7)$

Al pasar de una variable discreta a una continua aplicamos la corrección de continuidad, restando media unidad al extremo del intervalo.

$P(X\ge 55)\approx P(X^{\mathrm{\prime }}\ge \mathrm{54,5})=P(Z\ge {\displaystyle \frac{\mathrm{54,5}-50}{7}})=P(Z\ge \mathrm{0,64})$

$P(Z\ge \mathrm{0,64})=1-P(Z\le \mathrm{0,64})=1-\mathrm{0,7389}=\mathrm{0,2611}$

La probabilidad de que al menos 55 de los 2500 renacuajos lleguen a ranas adultas es de 0,2611, algo más del 26 %.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Para}}\mathbf{\text{conceder}}\mathbf{\text{becas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{estudio,}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{organismo}}\mathbf{\text{valora}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ritos}}\mathbf{\text{presentados}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{asigna}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{candidato}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{puntuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{indica}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ritos}}\mathbf{\text{cuanto}}\mathbf{\text{mayor}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{valor.}}\mathbf{\text{Este}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{puntuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{sigue}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{distribuci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{normal}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{100}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{desviaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{t}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{pica}}\mathbf{\text{20,}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{toma}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{decisi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{conceder}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{beca}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{5\%}}\mathbf{\text{mejor}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{conjunto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{solicitantes.}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{puntuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{preciso}}\mathbf{\text{alcanzar}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{obtener}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{beca?}}$

Sea $X$ la puntuación de un candidato, $X\sim N(100,20)$. Buscamos el valor $q$ que deja a su derecha únicamente al 5 % de los solicitantes.

$P(X>q)=\mathrm{0,05}\Rightarrow P(Z>{\displaystyle \frac{q-100}{20}})=\mathrm{0,05}$

Pasamos al suceso contrario para poder usar la tabla:

$P(Z\le {\displaystyle \frac{q-100}{20}})=1-\mathrm{0,05}=\mathrm{0,95}\Rightarrow {\displaystyle \frac{q-100}{20}}=\mathrm{1,645}$



$q=100+\mathrm{1,645}\cdot 20=100+\mathrm{32,9}=\mathrm{132,9}$

Es preciso alcanzar una puntuación de 132,9 para obtener la beca.