Examen de Matemáticas II de Galicia 2023 (convocatoria ordinaria)

1. Números y Álgebra:
Despeje la matriz $X$ de la ecuación $XA=A+XB$, si $A$ y $B$ son matrices cuadradas tales que $A-B$ es invertible. Luego, calcule $X$ si $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 0\end{array}\right)$ y $B=(A^2-A-I{)}^{-1}$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 2.

2. Números y Álgebra:
Discuta, según los valores de $m$, el sistema $\{\begin{array}{rcrcrcr}mx& +& (2+m^2)y& & & =& 1+m,\\ & & my& -& z& =& 1,\\ mx& +& 2y& +& (2m-4)z& =& 5.\end{array}$

3. Análisis:

a) Si $f(x)=a{\mathrm{e}}^x+b$, diga qué valores deben tener $a$ y $b$ para que se cumplan $f(0)=0$ y ${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}=3}$.
b) Estudie si la función $f(x)=x+\sin x$ tiene extremos o puntos de inflexión en el intervalo $(0,2\pi )$, diga dónde están en caso de que existan y esboce la gráfica de $f$ en ese intervalo.

4. Análisis:
Calcule el área de la región determinada por las desigualdades $x\ge 1$, $y\le x$ e $y\ge f(x)$, con $f(x)=x\ln x$. Haga un esbozo gráfico de la región. Nota: $\ln x$ es el logaritmo neperiano de $x$.

5. Geometría:

a) Obtenga las ecuaciones paramétricas de la recta $r$ que pasa por los puntos $P(2,-1,0)$ y $Q(3,0,0)$ y la ecuación implícita o general del plano $\pi$ que pasa por el punto $R(0,4,-2)$ y es paralelo a los vectores $\vec{u}(1,0,-1)$ y $\vec{v}(2,1,-2)$.
b) Calcule el ángulo agudo que forma la recta $r:{\displaystyle \frac{x-2}{1}}={\displaystyle \frac{y+1}{1}}={\displaystyle \frac{z}{0}}$ con el plano $\pi :x+z+2=0$.

6. Geometría:

a) Calcule el punto simétrico de $P(2,-1,0)$ con respecto al plano $\pi :x+z+2=0$.
b) Estudie la posición relativa de las rectas $r:{\displaystyle \frac{x-2}{1}}={\displaystyle \frac{y+1}{1}}={\displaystyle \frac{z}{0}}$ y $s:{\displaystyle \frac{x-2}{2}}={\displaystyle \frac{y+2}{1}}={\displaystyle \frac{z+1}{-1}}$. Si se cortan, calcule el punto de corte.

7. Estadística y Probabilidad:

a) Calcule las cuatro probabilidades $P(A)$, $P(A\cap \bar{B})$, $P(A\mathrm{\mid }B)$ y $P(B\mathrm{\mid }A)$ sabiendo que $P(A\cup B)=0.8$, $P(A\cap B)=0.2$ y $P(A)=2P(B)$. Nota: $\bar{B}$ es el suceso contrario o complementario de $B$.
b) En un conocido congreso, el 60% de los científicos inscritos participan online y el resto asisten en persona. Además, el 65% de los inscritos son europeos y el 80% de los que asisten en persona también lo son. Si se elige al azar a uno de los inscritos, calcule la probabilidad de que sea europeo y, a la vez, participe online; luego, la de que participe online si se sabe que es europeo.

8. Estadística y Probabilidad:

a) En un cierto humedal, la probabilidad de que un renacuajo llegue a rana adulta es del 2%. Si se escogen al azar 2500 de esos renacuajos, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 55 de ellos lleguen a ranas adultas?
b) Para conceder becas de estudio, un organismo valora los méritos presentados y asigna a cada candidato una puntuación que indica más méritos cuanto mayor es su valor. Este año, la puntuación sigue una distribución normal de media 100 y desviación típica 20, y se toma la decisión de conceder la beca al 5% mejor del conjunto de solicitantes. ¿Qué puntuación es preciso alcanzar para obtener la beca?