Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2023

7. Estadística y Probabilidad:

a) Calcule las cuatro probabilidades $P(A)$, $P(A\cap \bar{B})$, $P(A\mathrm{\mid }B)$ y $P(B\mathrm{\mid }A)$ sabiendo que $P(A\cup B)=0.8$, $P(A\cap B)=0.2$ y $P(A)=2P(B)$. Nota: $\bar{B}$ es el suceso contrario o complementario de $B$.
b) En un conocido congreso, el 60% de los científicos inscritos participan online y el resto asisten en persona. Además, el 65% de los inscritos son europeos y el 80% de los que asisten en persona también lo son. Si se elige al azar a uno de los inscritos, calcule la probabilidad de que sea europeo y, a la vez, participe online; luego, la de que participe online si se sabe que es europeo.

Partimos de la fórmula de la probabilidad de la unión, que relaciona los datos.

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\Rightarrow \mathrm{0,8}=P(A)+P(B)-\mathrm{0,2}$

$P(A)+P(B)=1$

Junto con $P(A)=2P(B)$ resulta un sistema sencillo:

$2P(B)+P(B)=1\Rightarrow 3P(B)=1\Rightarrow P(B)={\displaystyle \frac{1}{3}}\Rightarrow P(A)={\displaystyle \frac{2}{3}}$

La probabilidad de $A$ menos la parte común con $B$ da la primera de las restantes:

$P(A\cap \bar{B})=P(A)-P(A\cap B)={\displaystyle \frac{2}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{5}}={\displaystyle \frac{10-3}{15}}={\displaystyle \frac{7}{15}}\approx \mathrm{0,4667}$

Y las dos condicionadas salen de su definición:

$P(A\mid B)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(B)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,2}}{\frac{1}{3}}}=\mathrm{0,6}$

$P(B\mid A)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(A)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,2}}{\frac{2}{3}}}=\mathrm{0,3}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{conocido}}\mathbf{\text{congreso,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{60\%}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{cient}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ficos}}\mathbf{\text{inscritos}}\mathbf{\text{participan}}\mathbf{\text{online}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{resto}}\mathbf{\text{asisten}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{persona.}}\mathbf{\text{Adem}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{65\%}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{inscritos}}\mathbf{\text{son}}\mathbf{\text{europeos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{80\%}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{asisten}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{persona}}\mathbf{\text{tambi}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{lo}}\mathbf{\text{son.}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{elige}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{uno}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{inscritos,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{europeo}}\mathbf{\text{y,}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{vez,}}\mathbf{\text{participe}}\mathbf{\text{online;}}\mathbf{\text{luego,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{participe}}\mathbf{\text{online}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{sabe}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{europeo.}}$

Nombramos los sucesos:

$O\equiv \text{participa online}\Rightarrow P(O)=\mathrm{0,60}$

$\bar{O}\equiv \text{asiste en persona}\Rightarrow P(\bar{O})=\mathrm{0,40}$

$E\equiv \text{es europeo}\Rightarrow P(E)=\mathrm{0,65},P(E\mid \bar{O})=\mathrm{0,80}$



Los sucesos $O$ y $\bar{O}$ forman un sistema completo, así que descomponemos $P(E)$ por el teorema de la probabilidad total y despejamos la rama desconocida.

$P(E)=P(E\cap O)+P(E\cap \bar{O})$

$P(E\cap \bar{O})=P(\bar{O})\cdot P(E\mid \bar{O})=\mathrm{0,40}\cdot \mathrm{0,80}=\mathrm{0,32}$

$P(E\cap O)=P(E)-P(E\cap \bar{O})=\mathrm{0,65}-\mathrm{0,32}=\mathrm{0,33}$

La probabilidad de que un inscrito elegido al azar sea europeo y participe online es de 0,33.

Para la segunda pregunta aplicamos la definición de probabilidad condicionada.

$P(O\mid E)={\displaystyle \frac{P(E\cap O)}{P(E)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,33}}{\mathrm{0,65}}}={\displaystyle \frac{33}{65}}\approx \mathrm{0,5077}$

Sabiendo que el inscrito es europeo, la probabilidad de que participe online es de 0,5077, algo más de la mitad.