Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2026

PREGUNTA 1: PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

En un país se ha detectado una enfermedad $X$ transmitida por el virus VirusX. Se sabe que la enfermedad la padece el 20% de la población. Para detectarla, se usa un test de antígenos que, entre personas enfermas da positivo en el 90% de los casos y entre personas sanas da positivo en el 5% de los casos. Se pide:

Responda a todos los apartados

1.1 Calcular la probabilidad de que, al realizar el test a una persona del país al azar, dicho test dé positivo. (0.75 puntos)
1.2 Calcular la probabilidad de que una persona esté sana sabiendo que ha dado positivo en el test. (0.75 puntos)
1.3 Si tomamos 8 personas de la población al azar, ¿cuál es la probabilidad de que como máximo dos de ellas tengan la enfermedad? (1 punto)

$\mathbf{\text{1.1}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{test}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{positivo.}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Definimos:

$E=$ “estar enfermo”, $S=$ “estar sano”, $+=$ “dar positivo”.

Usamos la probabilidad total:

$P(+)=P(+\mathrm{\mid }E)P(E)+P(+\mathrm{\mid }S)P(S)$

Sustituyendo:

$P(+)=\mathrm{0,90}\cdot \mathrm{0,20}+\mathrm{0,05}\cdot \mathrm{0,80}=\mathrm{0,18}+\mathrm{0,04}=\mathrm{0,22}$

$\mathbf{\text{1.2}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{persona}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{sana}}\mathbf{\text{sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{dado}}\mathbf{\text{positivo.}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Usamos la fórmula de Bayes:

$P(S\mathrm{\mid }+)={\displaystyle \frac{P(+\mathrm{\mid }S)P(S)}{P(+)}}$

Sustituyendo:

$P(S\mathrm{\mid }+)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,05}\cdot \mathrm{0,80}}{\mathrm{0,22}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,04}}{\mathrm{0,22}}}=\mathrm{0,1818}$

$\mathbf{\text{1.3}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{tomamos}}\mathbf{\text{8}}\mathbf{\text{personas}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar,}}\mathbf{\text{calcula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{como}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{tengan}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{enfermedad.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Sea $X$ la variable aleatoria “número de personas enfermas entre 8”.

Como cada persona tiene probabilidad $p=\mathrm{0,20}$ de estar enferma:

$X\sim B(n=8,p=\mathrm{0,20})$

Usamos la fórmula binomial:

$P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}$

Queremos:

$P(X\le 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{8}{0}\right)(\mathrm{0,2}{)}^0(\mathrm{0,8}{)}^8+\left(\genfrac{}{}{0px}{}{8}{1}\right)(\mathrm{0,2}{)}^1(\mathrm{0,8}{)}^7+\left(\genfrac{}{}{0px}{}{8}{2}\right)(\mathrm{0,2}{)}^2(\mathrm{0,8}{)}^6=\mathrm{0,1678}+\mathrm{0,3355}+\mathrm{0,2936}=\mathrm{0,7969}$