Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2024

PREGUNTA 7. Estadística y Probabilidad. (2 puntos)
Sabiendo que $P(A)={\displaystyle \frac{1}{3}}$ y $P(B)={\displaystyle \frac{1}{2}}$.

a) Suponiendo que $A$ y $B$ son sucesos independientes, calcule $P(A\cup B)$ y $P(\bar{A}\mid (\bar{A}\cup \bar{B}))$.
b) Suponiendo que $A$ y $B$ son sucesos incompatibles, calcule $P(A\cup B)$ y $P(\bar{A}\mid (\bar{A}\cup \bar{B}))$.
(Nota: $\bar{A}$ y $\bar{B}$ son los sucesos contrarios o complementarios de $A$ y $B$, respectivamente).

Si los sucesos son independientes, la probabilidad de la intersección es el producto de las probabilidades.

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{6}}$

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)={\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{2+3-1}{6}}={\displaystyle \frac{4}{6}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$

Para la probabilidad condicionada usamos las leyes de De Morgan, que convierten la unión de los contrarios en el contrario de la intersección.

$\bar{A}\cup \bar{B}=\overline{A\cap B}\Rightarrow P(\bar{A}\cup \bar{B})=1-P(A\cap B)=1-{\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{5}{6}}$

Además $\bar{A}$ está contenido en $\bar{A}\cup \bar{B}$, luego la intersección de ambos es $\bar{A}$.

$P(\bar{A}\mid (\bar{A}\cup \bar{B}))={\displaystyle \frac{P(\bar{A}\cap (\bar{A}\cup \bar{B}))}{P(\bar{A}\cup \bar{B})}}={\displaystyle \frac{P(\bar{A})}{P(\bar{A}\cup \bar{B})}}={\displaystyle \frac{1-\frac{1}{3}}{\frac{5}{6}}}={\displaystyle \frac{\frac{2}{3}}{\frac{5}{6}}}={\displaystyle \frac{4}{5}}$



Si los sucesos son incompatibles no pueden darse a la vez, de modo que su intersección es el suceso imposible.

$P(A\cap B)=0$

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)={\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{5}{6}}$

$P(\bar{A}\cup \bar{B})=1-P(A\cap B)=1-0=1$

$P(\bar{A}\mid (\bar{A}\cup \bar{B}))={\displaystyle \frac{P(\bar{A})}{P(\bar{A}\cup \bar{B})}}={\displaystyle \frac{\frac{2}{3}}{1}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$

Obsérvese que en este segundo caso $\bar{A}\cup \bar{B}$ es el suceso seguro, y condicionar por el suceso seguro deja la probabilidad inalterada.