Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

6. Geometría:

a) Calcule el punto simétrico de $P(2,-1,0)$ con respecto al plano $\pi :x+z+2=0$.
b) Estudie la posición relativa de las rectas $r:{\displaystyle \frac{x-2}{1}}={\displaystyle \frac{y+1}{1}}={\displaystyle \frac{z}{0}}$ y $s:{\displaystyle \frac{x-2}{2}}={\displaystyle \frac{y+2}{1}}={\displaystyle \frac{z+1}{-1}}$. Si se cortan, calcule el punto de corte.

Resolvemos el apartado en tres fases.



i) Construimos la recta $r$ que, pasando por $P$, es perpendicular a $\pi$. Su vector director es el normal del plano.

${\vec{v}}_r={\vec{n}}_{\pi }=(1,0,1)\Rightarrow r:\{\begin{array}{l}x=2+\lambda \\ y=-1\\ z=\lambda \end{array}\lambda \in \mathbb{R}$

ii) Calculamos $R$, pie de la perpendicular, como intersección de $r$ con $\pi$.

$(2+\lambda )+\lambda +2=0\Rightarrow 2\lambda +4=0\Rightarrow \lambda =-2$

$R=(2-2,-1,-2)=(0,-1,-2)$

iii) Basta razonar que $R$ es el punto medio del segmento $\overline{P{P}^{\mathrm{\prime }}}$, de donde se despeja el simétrico.

$R={\displaystyle \frac{P+P^{\mathrm{\prime }}}{2}}\Rightarrow P^{\mathrm{\prime }}=2R-P=2(0,-1,-2)-(2,-1,0)$

$P^{\mathrm{\prime }}=(0,-2,-4)-(2,-1,0)=(-2,-1,-4)$

El punto simétrico de $P$ respecto del plano $\pi$ es $P^{\mathrm{\prime }}(-2,-1,-4)$.



De las ecuaciones continuas leemos un punto y un vector director de cada recta.

$P_r(2,-1,0),{\vec{v}}_r=(1,1,0)P_s(2,-2,-1),{\vec{v}}_s=(2,1,-1)$

Los directores no son proporcionales, pues $\frac{2}{1}\mathrm{\ne }\frac{1}{1}$, así que las rectas se cortan o se cruzan. Lo decide el rango de la matriz que forman los dos directores y el vector que une los puntos.

$\overrightarrow{P_r{P}_s}=(2,-2,-1)-(2,-1,0)=(0,-1,-1)$

$\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 2& 1& -1\\ 0& -1& -1\end{array}\mid =-1+0+0-0-1+2=0$

El determinante se anula, luego los tres vectores son coplanarios y las rectas se cortan en un punto.

Igualamos las paramétricas de ambas para hallarlo:

$\{\begin{array}{l}2+\lambda =2+2\mu \\ -1+\lambda =-2+\mu \\ 0=-1-\mu \end{array}$

De la tercera ecuación, $\mu =-1$; sustituyendo en la primera, $\lambda =2\mu =-2$. Comprobamos en la segunda: $-1-2=-3$ y $-2-1=-3$, se cumple.

$\lambda =-2\Rightarrow (2-2,-1-2,0)=(0,-3,0)$

Las rectas $r$ y $s$ son secantes y se cortan en el punto $(0,-3,0)$.