Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2024

PREGUNTA 6. Geometría. (2 puntos)
Sean $r$ la recta que pasa por los puntos $A(-1,3,-5)$ y $B(1,2,-5)$ y $\pi$ el plano que pasa por el punto $C(5,0,1)$ y es perpendicular a $r$. Se piden las ecuaciones paramétricas de $r$, la ecuación implícita o general de $\pi$ y el punto de corte de $r$ con $\pi$.

Resolvemos el ejercicio en tres fases.



i) Construimos la recta $r$. Su vector director es el que une los dos puntos dados.

${\vec{v}}_r=\overrightarrow{AB}=(1,2,-5)-(-1,3,-5)=(2,-1,0)$

Tomando $A$ como punto de paso:

$r:\{\begin{array}{l}x=-1+2\lambda \\ y=3-\lambda \\ z=-5\end{array}\lambda \in \mathbb{R}$

La tercera coordenada es constante, así que la recta está contenida en el plano $z=-5$.

ii) Construimos el plano $\pi$. Al ser perpendicular a $r$, su vector normal es el director de la recta.

${\vec{n}}_{\pi }={\vec{v}}_r=(2,-1,0)\Rightarrow \pi :2x-y+0\cdot z+D=0$

$C(5,0,1)\in \pi \Rightarrow 2\cdot 5-0+D=0\Rightarrow D=-10$

$\pi :2x-y-10=0$

iii) Calculamos el punto de corte sustituyendo las paramétricas de la recta en la ecuación del plano.

$2(-1+2\lambda )-(3-\lambda )-10=0$

$-2+4\lambda -3+\lambda -10=0\Rightarrow 5\lambda -15=0\Rightarrow \lambda =3$

Llevando este valor a las paramétricas:

$\{\begin{array}{l}x=-1+2\cdot 3=5\\ y=3-3=0\\ z=-5\end{array}\Rightarrow r\cap \pi =(5,0,-5)$

El punto de corte de la recta con el plano es $(5,0,-5)$, que es además el pie de la perpendicular trazada desde $C$ a la recta.