Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2024

PREGUNTA 5. Geometría. (2 puntos)

a) Considérese el plano $\pi :4x+2y+bz=2$ y la recta $r:{\displaystyle \frac{x-2}{3}}={\displaystyle \frac{y-c}{2}}={\displaystyle \frac{z-3}{4}}$, donde $b$ y $c$ son parámetros reales. Calcule los valores que tienen que tomar $b$ y $c$ para que la recta $r$ esté contenida en $\pi$.
b) Calcule la distancia del punto $P(1,3,1)$ al plano ${\pi }^{\mathrm{\prime }}:4x+2y-4z=2$.

De las ecuaciones leemos los elementos de cada figura.

${\vec{n}}_{\pi }=(4,2,b)A(2,c,3)\in r,{\vec{v}}_r=(3,2,4)$

Para que la recta esté contenida en el plano se han de cumplir dos condiciones: que la recta sea paralela al plano, es decir, que su vector director sea perpendicular al normal, y que un punto cualquiera de la recta pertenezca al plano.



i) Imponemos la perpendicularidad entre ${\vec{n}}_{\pi }$ y ${\vec{v}}_r$:

${\vec{n}}_{\pi }\cdot {\vec{v}}_r=0\Rightarrow 4\cdot 3+2\cdot 2+b\cdot 4=0\Rightarrow 12+4+4b=0$

$4b=-16\Rightarrow b=-4$

ii) Imponemos que el punto $A(2,c,3)$ pertenezca al plano, ya con $b=-4$:

$4\cdot 2+2c+(-4)\cdot 3=2\Rightarrow 8+2c-12=2\Rightarrow 2c=6\Rightarrow c=3$

La recta está contenida en el plano únicamente si $b=-4$ y $c=3$.



Escribimos el plano con todos los términos en el primer miembro y aplicamos la fórmula de la distancia de un punto a un plano.

${\pi }^{\mathrm{\prime }}:4x+2y-4z-2=0$

$d(P,{\pi }^{\mathrm{\prime }})={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D\mathrm{\mid }}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }4\cdot 1+2\cdot 3-4\cdot 1-2\mathrm{\mid }}{\sqrt{4^2+2^2+(-4{)}^2}}}$

$d(P,{\pi }^{\mathrm{\prime }})={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }4+6-4-2\mathrm{\mid }}{\sqrt{16+4+16}}}={\displaystyle \frac{4}{\sqrt{36}}}={\displaystyle \frac{4}{6}}={\displaystyle \frac{2}{3}}\text{ u}$

La distancia del punto $P$ al plano ${\pi }^{\mathrm{\prime }}$ es de ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ unidades de longitud.