Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

Ejercicio A2
a) Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto $(-1,2,3)$ y es paralelo a los vectores $\vec{v}=(-1,-2,-3)$ y $\vec{w}=(1,3,5)$.
b) Hallar el valor de $A$ para que el plano calculado en el apartado anterior y $Ax-y+5z=8$ sean perpendiculares.

Un plano queda determinado por un punto y dos vectores contenidos en él. Su vector normal es perpendicular a ambos, de modo que se obtiene con el producto vectorial.

${\vec{n}}_{\pi }=\vec{v}\times \vec{w}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ -1& -2& -3\\ 1& 3& 5\end{array}\mid$

$=((-2)(5)-(-3)(3),(-3)(1)-(-1)(5),(-1)(3)-(-2)(1))$

$=(-10+9,-3+5,-3+2)=(-1,2,-1)$

$\pi :-x+2y-z+D=0$

Imponemos que pase por el punto dado:

$-(-1)+2\cdot 2-3+D=0\Rightarrow 1+4-3+D=0\Rightarrow D=-2$

$\pi \equiv -x+2y-z-2=0$



Dos planos son perpendiculares cuando lo son sus vectores normales, es decir, cuando su producto escalar se anula.

${\vec{n}}_{\sigma }=(A,-1,5)$

${\vec{n}}_{\pi }\cdot {\vec{n}}_{\sigma }=0\Rightarrow (-1)A+2(-1)+(-1)5=0$

$-A-2-5=0\Rightarrow -A=7\Rightarrow A=-7$

Para que los dos planos sean perpendiculares debe ser $A=-7$.