Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2024

PREGUNTA 6. Geometría. (2 puntos)

a) Considérense los puntos $Q(-1,3,-5)$, $R(3,1,0)$ y $S(0,1,2)$. Obtenga la ecuación implícita o general del plano $\pi$ que contiene a $Q$, $R$ y $S$.
b) Obtenga las ecuaciones paramétricas y la ecuación continua de la recta que pasa por el punto $P(3,-1,-1)$ y sea perpendicular al plano $\pi :4x+23y+6z-35=0$.

Tomamos $Q$ como punto de paso y construimos dos vectores contenidos en el plano; su producto vectorial nos dará el vector normal.

$\overrightarrow{QR}=(3,1,0)-(-1,3,-5)=(4,-2,5)$

$\overrightarrow{QS}=(0,1,2)-(-1,3,-5)=(1,-2,7)$

${\vec{n}}_{\pi }=\overrightarrow{QR}\times \overrightarrow{QS}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 4& -2& 5\\ 1& -2& 7\end{array}\mid =(-14+10,5-28,-8+2)=(-4,-23,-6)$

Como no es el vector nulo, los tres puntos no están alineados y determinan un único plano.

$\pi :-4x-23y-6z+D=0$

$Q(-1,3,-5)\in \pi \Rightarrow 4-69+30+D=0\Rightarrow D=35$

Cambiando de signo toda la ecuación, que no altera el plano:

$\pi :4x+23y+6z-35=0$

Se comprueba con los otros dos puntos: para $R$, $12+23+0-35=0$; para $S$, $0+23+12-35=0$.



Si la recta es perpendicular al plano, su vector director es el vector normal del plano.

${\vec{v}}_s={\vec{n}}_{\pi }=(4,23,6)$

Con el punto $P(3,-1,-1)$ escribimos las ecuaciones paramétricas:

$s:\{\begin{array}{l}x=3+4\lambda \\ y=-1+23\lambda \\ z=-1+6\lambda \end{array}\lambda \in \mathbb{R}$

y despejando el parámetro en las tres, la ecuación continua:

$s:{\displaystyle \frac{x-3}{4}}={\displaystyle \frac{y+1}{23}}={\displaystyle \frac{z+1}{6}}$