Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

5. Geometría:

a) Obtenga las ecuaciones paramétricas de la recta $r$ que pasa por los puntos $P(2,-1,0)$ y $Q(3,0,0)$ y la ecuación implícita o general del plano $\pi$ que pasa por el punto $R(0,4,-2)$ y es paralelo a los vectores $\vec{u}(1,0,-1)$ y $\vec{v}(2,1,-2)$.
b) Calcule el ángulo agudo que forma la recta $r:{\displaystyle \frac{x-2}{1}}={\displaystyle \frac{y+1}{1}}={\displaystyle \frac{z}{0}}$ con el plano $\pi :x+z+2=0$.

Para la recta, el vector director es el que une los dos puntos dados.

${\vec{v}}_r=\overrightarrow{PQ}=(3,0,0)-(2,-1,0)=(1,1,0)$

$r:\{\begin{array}{l}x=2+\lambda \\ y=-1+\lambda \\ z=0\end{array}\lambda \in \mathbb{R}$

Para el plano, los dos vectores a los que es paralelo son direcciones suyas, de modo que su producto vectorial da el vector normal.

${\vec{n}}_{\pi }=\vec{u}\times \vec{v}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 0& -1\\ 2& 1& -2\end{array}\mid =(0+1,-2+2,1-0)=(1,0,1)$

$\pi :x+0\cdot y+z+D=0$

$R(0,4,-2)\in \pi \Rightarrow 0+0-2+D=0\Rightarrow D=2$

Finalmente, $\pi :x+z+2=0$.



El ángulo que forman una recta y un plano es el complementario del que forman el vector director de la recta y el vector normal del plano, así que se calcula con el seno.

${\vec{v}}_r=(1,1,0){\vec{n}}_{\pi }=(1,0,1)$

$\mathrm{sen}\alpha ={\displaystyle \frac{\mid {\vec{v}}_r\cdot {\vec{n}}_{\pi }\mid }{\mid {\vec{v}}_r\mid \cdot \mid {\vec{n}}_{\pi }\mid }}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }1\cdot 1+1\cdot 0+0\cdot 1\mathrm{\mid }}{\sqrt{1^2+1^2+0^2}\cdot \sqrt{1^2+0^2+1^2}}}$

$\mathrm{sen}\alpha ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

$\alpha =\arcsin {\displaystyle \frac{1}{2}}={30}^{\circ }$

La recta $r$ forma con el plano $\pi$ un ángulo agudo de 30 grados.