Examen de Matemáticas II de Galicia 2025 (convocatoria extraordinaria)

PREGUNTA 1. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD. (2,5 puntos)

CONTEXTO

En los últimos años, hay una tendencia que sigue en aumento: emplear calzado deportivo no únicamente para realizar actividad física, sino como calzado de uso diario. Los motivos principales son su versatilidad y comodidad, ya que pueden combinarse con casi cualquier atuendo al mismo tiempo que permiten realizar movimientos naturales.

Antón es un apasionado de este tipo de calzado, del que tiene 60 pares, guardando cada par en su correspondiente caja. El 80% son zapatillas tradicionales y el 20% zapatillas de diseño. Entre las zapatillas de diseño, el 75% están en buen estado, pero solo el 50% de las zapatillas tradicionales están en buen estado. Un día que se levantó con el tiempo justo, para no llegar tarde al trabajo, cogió al azar una caja y se calzó las zapatillas de esa caja.

Responda estos tres apartados: 1.1., 1.2. y 1.3.

1.1. ¿Cuál es la probabilidad de que Antón vaya calzado con zapatillas tradicionales o zapatillas en buen estado?

1.2. Al salir del trabajo, Antón decide ir al cine con dos amigos. Antón no quiere llevar calzadas zapatillas que no estén en buen estado ni zapatillas tradicionales, ¿cuál sería la probabilidad de que no tenga que pasar por su casa a cambiar las zapatillas?

1.3. Antón tiene 8 pares de zapatillas tradicionales de color blanco. Sabiendo que al escoger al azar una caja de sus zapatillas los sucesos “ser blancas” y “ser de diseño” son sucesos independientes, ¿cuántos pares de zapatillas blancas de diseño tiene Antón?

PREGUNTA 2. NÚMEROS Y ÁLGEBRA. (2,5 puntos)

Responda uno de estos dos apartados: 2.1. o 2.2.

2.1. Dadas las matrices $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 2& 4& 1\\ 1& 1& k\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$.

2.1.1. ¿Qué condición tiene que cumplir $k$ para que $A$ sea invertible? Calcule $A^{-1}$ cuando sea posible.

2.1.2. Para $k=0$, calcule la matriz $X$ que satisfaga la igualdad $AX-A=B^2+A^T$ siendo $A^T$ la traspuesta de A.

2.2. Discuta, según los valores del parámetro $m$, el sistema $\{\begin{array}{rcrcrcl}x& +& my& +& z& =& m,\\ x& & & +& (3-m)z& =& 2m,\\ & & my& +& 2z& =& 3m\mathrm{.}\end{array}$

PREGUNTA 3. ANÁLISIS. (2,5 puntos)

Responda uno de estos dos apartados: 3.1. o 3.2.

3.1. Responda a las dos cuestiones siguientes:

3.1.1. Enuncie el teorema del valor medio del cálculo diferencial.

3.1.2. Calcule ${\displaystyle \int e^x\cos 3xdx}$.

3.2. Dada la función $f(x)=\{\begin{array}{lcl}x{e}^{4x}& \text{si}& x<0\\ {\displaystyle \frac{\ln (1+x)}{1+x}}& \text{si}& x\ge 0\end{array}$, se pide responder a las siguientes cuestiones:

3.2.1. Estudie la continuidad de la función $f(x)$ en $x=0$.

3.2.2. Estudie la derivabilidad de la función $f(x)$ en $x=0$.

3.2.3. Calcule la ecuación de la recta tangente a la curva $f(x)$ en $x=-1$.

PREGUNTA 4. GEOMETRÍA. (2,5 puntos)

Responda uno de estos dos apartados: 4.1. o 4.2.

4.1. Considérense los planos $\pi :2x+3y+z+1=0$ y ${\pi }^{\mathrm{\prime }}:x+z-1=0$ y los puntos $A(2,1,0)$ y $B(-1,-2,3)$.

4.1.1. Calcule la distancia del punto $A$ al plano paralelo a $\pi$ que pasa por $B$.

4.1.2. Obtenga las ecuaciones paramétricas de la recta intersección de los planos $\pi$ y ${\pi }^{\mathrm{\prime }}$.

4.2. Dadas las rectas $r:{\displaystyle \frac{x-1}{2}}={\displaystyle \frac{y-2}{-1}}={\displaystyle \frac{z-1}{1}}$ y $s:{\displaystyle \frac{x-2}{4}}={\displaystyle \frac{y-1}{-2}}={\displaystyle \frac{z-1}{2}}$.

4.2.1. Calcule la posición relativa de las rectas $r$ y $s$.

4.2.2. Obtenga la ecuación del plano que contiene a las rectas $r$ y $s$.