Ejercicio resuelto de Álgebra · Matemáticas II · Galicia · 2025

PREGUNTA 2. NÚMEROS Y ÁLGEBRA. (2,5 puntos)

Responda uno de estos dos apartados: 2.1. o 2.2.

2.1. Dadas las matrices $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 2& 4& 1\\ 1& 1& k\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$.

2.1.1. ¿Qué condición tiene que cumplir $k$ para que $A$ sea invertible? Calcule $A^{-1}$ cuando sea posible.

2.1.2. Para $k=0$, calcule la matriz $X$ que satisfaga la igualdad $AX-A=B^2+A^T$ siendo $A^T$ la traspuesta de A.

2.2. Discuta, según los valores del parámetro $m$, el sistema $\{\begin{array}{rcrcrcl}x& +& my& +& z& =& m,\\ x& & & +& (3-m)z& =& 2m,\\ & & my& +& 2z& =& 3m\mathrm{.}\end{array}$

El examen permite elegir entre el apartado 2.1 y el 2.2; se resuelven los dos.



Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante no es nulo, así que calculamos $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }$ desarrollando por la primera fila.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 2& 4& 1\\ 1& 1& k\end{array}\mid =1\cdot (4k-1)-2\cdot (2k-1)+0=4k-1-4k+2=1$

El determinante vale 1 sea cual sea $k$, luego $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$ siempre: la matriz $A$ es invertible para todo valor real de $k$ y no hace falta imponer ninguna condición.

Calculamos la inversa por la fórmula de la adjunta, teniendo en cuenta que $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=1$.

$A^T=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& 4& 1\\ 0& 1& k\end{array}\right)$

$A^{-1}={\displaystyle \frac{\mathrm{Adj}(A^T)}{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }}}=\mathrm{Adj}(A^T)=\left(\begin{array}{ccc}4k-1& -2k& 2\\ 1-2k& k& -1\\ -2& 1& 0\end{array}\right)$

Se comprueba, por ejemplo, que la primera fila de $A$ por la primera columna de $A^{-1}$ da $1\cdot (4k-1)+2\cdot (1-2k)+0\cdot (-2)=4k-1+2-4k=1$, como debe ser.



Despejamos $X$ pasando $A$ al segundo miembro y multiplicando por $A^{-1}$ por la izquierda, que es el lado por el que multiplica a la incógnita.

$AX=B^2+A^T+A\Rightarrow X=A^{-1}(B^2+A^T+A)$

Con $k=0$ las matrices que necesitamos son:

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 2& 4& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 2\\ 1& 0& -1\\ -2& 1& 0\end{array}\right)$

La matriz $B$ intercambia las dos primeras filas, de modo que aplicarla dos veces devuelve la matriz de partida:

$B^2=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=I$

Sumamos los tres términos del segundo miembro:

$B^2+A^T+A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& 4& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 2& 4& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}3& 4& 1\\ 4& 9& 2\\ 1& 2& 1\end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 2\\ 1& 0& -1\\ -2& 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}3& 4& 1\\ 4& 9& 2\\ 1& 2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ 2& 2& 0\\ -2& 1& 0\end{array}\right)$

Finalmente, $X=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ 2& 2& 0\\ -2& 1& 0\end{array}\right)$.

$\mathbf{\text{2.2.}}\mathbf{\text{Discuta,}}\mathbf{\text{seg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{m}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}$

Llamamos $M$ a la matriz de coeficientes y $M^{\ast }$ a la ampliada, y aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius.

$M=\left(\begin{array}{ccc}1& m& 1\\ 1& 0& 3-m\\ 0& m& 2\end{array}\right)M^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& m& 1& m\\ 1& 0& 3-m& 2m\\ 0& m& 2& 3m\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& m& 1\\ 1& 0& 3-m\\ 0& m& 2\end{array}\mid =0+0+m-0-m(3-m)-2m=m^2-4m$

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=0\Rightarrow m(m-4)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}m=0\\ m=4\end{array}$

Si $m\mathrm{\ne }0$ y $m\mathrm{\ne }4$, entonces $\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(M)=\mathrm{ran}(M^{\ast })=3=\text{n.º de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$ y el sistema es compatible determinado.

Si $m=0$, todos los términos independientes se anulan y el sistema pasa a ser homogéneo:

$M^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 0\\ 1& 0& 3& 0\\ 0& 0& 2& 0\end{array}\right)$

Un sistema homogéneo siempre es compatible, porque $\mathrm{ran}(M)=\mathrm{ran}(M^{\ast })$ al ser nula la columna añadida. La segunda columna de $M$ es nula, luego su rango no llega a 3, y el menor

$\mid \begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 3\end{array}\mid =3-1=2\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(M)=\mathrm{ran}(M^{\ast })=2$

$\mathrm{ran}(M)=\mathrm{ran}(M^{\ast })=2<3=\text{n.º de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}\Rightarrow \text{sistema compatible indeterminado}$

Si $m=4$, la matriz ampliada es:

$M^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 4& 1& 4\\ 1& 0& -1& 8\\ 0& 4& 2& 12\end{array}\right)$

Sabemos que $\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=0$, y el menor

$\mid \begin{array}{cc}1& 4\\ 1& 0\end{array}\mid =0-4=-4\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(M)=2$

Orlamos con la columna de términos independientes:

$\mid \begin{array}{ccc}1& 4& 4\\ 1& 0& 8\\ 0& 4& 12\end{array}\mid =0+0+16-0-32-48=-64\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(M^{\ast })=3$

$\mathrm{ran}(M)=2\mathrm{\ne }3=\mathrm{ran}(M^{\ast })\Rightarrow \text{sistema incompatible}$

En resumen: el sistema es compatible determinado para todo $m$ distinto de 0 y de 4, compatible indeterminado con un parámetro para $m=0$, e incompatible para $m=4$.