Ejercicio resuelto de Álgebra · Matemáticas II · 2020

Sean los vectores $\vec{u}=(4,3,\alpha )$, $\vec{v}=(\alpha ,1,0)$ y $\vec{w}=(2\alpha ,1,\alpha )$, con $\alpha \in \mathbb{R}$.

a) Determine los valores de $\alpha$ para que $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{w}$ sean linealmente independientes. [1 punto]

b) Para el valor $\alpha =1$ exprese $\vec{w}$ como combinación lineal de $\vec{u}$ y $\vec{v}$. [1 punto]

Tres vectores del espacio son linealmente independientes si y solo si el determinante que forman sus coordenadas no es nulo.

$\mid \begin{array}{ccc}4& 3& \alpha \\ \alpha & 1& 0\\ 2\alpha & 1& \alpha \end{array}\mid =4\alpha +0+{\alpha }^2-2{\alpha }^2-0-3{\alpha }^2$

$=4\alpha -4{\alpha }^2=-4\alpha (\alpha -1)$

$-4\alpha (\alpha -1)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}\alpha =0\\ \alpha =1\end{array}$

Los tres vectores son linealmente independientes para todo valor real de $\alpha$ distinto de $0$ y de $1$; para esos dos valores son linealmente dependientes.



Por el apartado anterior, para $\alpha =1$ los tres vectores son dependientes, así que la combinación existe. Sustituimos y planteamos la igualdad componente a componente.

$\vec{u}=(4,3,1)\vec{v}=(1,1,0)\vec{w}=(2,1,1)$

$\vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}\Rightarrow (2,1,1)=a(4,3,1)+b(1,1,0)$

$\{\begin{array}{l}4a+b=2\\ 3a+b=1\\ a=1\end{array}$

La tercera ecuación da directamente $a=1$, y sustituyendo en la primera:

$4+b=2\Rightarrow b=-2$

Comprobamos con la segunda ecuación, que no se ha usado:

$3\cdot 1+(-2)=1$

La combinación lineal pedida es $\vec{w}=\vec{u}-2\vec{v}$, como se verifica al operar: $(4,3,1)-2(1,1,0)=(2,1,1)$.