Ejercicio resuelto de Álgebra · Matemáticas II · Aragón · 2023

Si los vectores $\{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\}$ son linealmente independientes,

a) Compruebe si los vectores $\{\vec{r},\vec{s},\vec{t}\}$ son linealmente dependientes o independientes, siendo

$\vec{r}=2\vec{u}+\vec{w},\vec{s}=\vec{u}+\vec{v}-\vec{w},\vec{t}=-3\vec{u}-\vec{v}+\vec{w}$

[1 punto]

b) Si además los vectores $\{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\}$ son ortogonales y unitarios, calcule razonadamente $\vec{u}\cdot \vec{r}+\vec{v}\cdot \vec{s}+\vec{w}\cdot \vec{t}$, donde $\cdot$ representa el producto escalar de dos vectores. [1 punto]

Como $\{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\}$ son linealmente independientes y son tres, forman una base del espacio. Cada uno de los vectores nuevos queda entonces determinado por sus coordenadas en esa base, y estudiar la dependencia lineal de los tres se reduce a calcular el rango de la matriz que forman esas coordenadas.

$\vec{r}=(2,0,1);\vec{s}=(1,1,-1);\vec{t}=(-3,-1,1)\text{en la base }\{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\}$

$\mid \begin{array}{ccc}2& 0& 1\\ 1& 1& -1\\ -3& -1& 1\end{array}\mid =2\mid \begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 1\end{array}\mid -0+1\mid \begin{array}{cc}1& 1\\ -3& -1\end{array}\mid$

$=2(1-1)+1(-1+3)=0+2=2$

$\mid \begin{array}{ccc}2& 0& 1\\ 1& 1& -1\\ -3& -1& 1\end{array}\mid =2\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}\{\vec{r},\vec{s},\vec{t}\}=3$

El determinante no se anula, luego los tres vectores $\{\vec{r},\vec{s},\vec{t}\}$ son linealmente independientes y forman también una base del espacio.



Que la base sea ortonormal significa que cada vector tiene módulo 1 y que dos distintos son perpendiculares, de modo que sus productos escalares valen

$\vec{u}\cdot \vec{u}=\vec{v}\cdot \vec{v}=\vec{w}\cdot \vec{w}=1;\vec{u}\cdot \vec{v}=\vec{u}\cdot \vec{w}=\vec{v}\cdot \vec{w}=0$

Basta, pues, desarrollar cada producto escalar por la propiedad distributiva y quedarse con los términos que no se anulan.

$\vec{u}\cdot \vec{r}=\vec{u}\cdot (2\vec{u}+\vec{w})=2(\vec{u}\cdot \vec{u})+\vec{u}\cdot \vec{w}=2\cdot 1+0=2$

$\vec{v}\cdot \vec{s}=\vec{v}\cdot (\vec{u}+\vec{v}-\vec{w})=0+1-0=1$

$\vec{w}\cdot \vec{t}=\vec{w}\cdot (-3\vec{u}-\vec{v}+\vec{w})=0-0+1=1$

$\vec{u}\cdot \vec{r}+\vec{v}\cdot \vec{s}+\vec{w}\cdot \vec{t}=2+1+1=4$

Obsérvese que el resultado es la suma de los elementos de la diagonal principal de la matriz de coordenadas del apartado anterior: al ser la base ortonormal, el producto escalar de $\vec{u}$ por un vector devuelve su primera coordenada, y lo mismo con los otros dos.

La suma pedida vale 4.