Ejercicio resuelto de Álgebra · Matemáticas II · Galicia · 2026

PREGUNTA 2. ÁLGEBRA. (2 puntos)

Responda uno de estos dos apartados: 2.1. o 2.2.

2.1. Dadas las matrices $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 2& 0\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$, se pide responder las siguientes cuestiones:

2.1.1. Calcule las matrices $X=A{A}^T$ e $Y=A^{T}A$, siendo $A^T$ la matriz traspuesta de A. ¿Son X o Y invertibles? Razone la respuesta y calcule las inversas en caso de que sea posible.

2.1.2. Calcule las matrices de la forma $M=\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)$ tales que $BM=M$.

2.2. Discuta, según los valores del parámetro $m$, el sistema

$\{\begin{array}{rcrcrcl}2x& +& (2m-2)y& +& (m+6)z& =& 9,\\ x& +& (m-2)y& +& 3z& =& 2,\\ & & 2y& +& (2m+2)z& =& m-5.\end{array}$

Se resuelven los dos apartados, aunque el examen solo pide uno.

$\mathbf{\text{2.1.1.}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{matrices}}X=A{A}^T\mathbf{\text{e}}Y=A^{T}A\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{¿Son}}X\mathbf{\text{o}}Y\mathbf{\text{invertibles?}}$

La matriz $A$ es de orden $2\times 3$, luego su traspuesta es de orden $3\times 2$:

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 2& 0\end{array}\right)A^T=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\\ 1& 0\end{array}\right)$

Ya se ve que los dos productos existen pero tienen tamaños distintos: $A{A}^T$ es $2\times 2$ y $A^{T}A$ es $3\times 3$.

$X=A{A}^T=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 2& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 4\end{array}\right)$

$Y=A^{T}A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 2& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 4& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$

Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante no es nulo.

$\mathrm{\mid }X\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 4\end{array}\mid =8\mathrm{\ne }0$

Luego $X$ $\mathbf{\text{s}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{invertible}}$. Al ser diagonal, su inversa es la diagonal de los inversos:

$X^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1\mathrm{/}2& 0\\ 0& 1\mathrm{/}4\end{array}\right)$

Se comprueba de inmediato que $X{X}^{-1}=I_2$.

$\mathrm{\mid }Y\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 4& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\mid =0$

El determinante es nulo porque la primera y la tercera fila son iguales. Por tanto $Y$ $\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{invertible}}$ y no tiene sentido calcular su inversa. Su rango es 2, no 3.

No es casualidad: el rango de $A$ es 2, y el de un producto no puede superar el de sus factores, así que $Y$, que es $3\times 3$, no puede tener rango 3 y nunca sería invertible, sea cual sea la $A$ de partida.

$\mathbf{\text{2.1.2.}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{matrices}}M=\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)\mathbf{\text{tales}}\mathbf{\text{que}}BM=M\mathbf{\text{.}}$

Se plantea el producto y se iguala componente a componente:

$BM=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a+c\\ b\\ a+c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)$

$\{\begin{array}{l}a+c=a\\ b=b\\ a+c=c\end{array}$

De la primera ecuación, $c=0$; de la tercera, $a=0$. La segunda no impone ninguna condición, de modo que $b$ queda libre.

$M=\left(\begin{array}{c}0\\ \lambda \\ 0\end{array}\right),\lambda \in \mathbb{R}$

Hay infinitas matrices, todas las de esa forma. Comprobación con $\lambda =1$: el producto de $B$ por $(0,1,0{)}^T$ devuelve $(0,1,0{)}^T$.

En el lenguaje de $BM=M$, lo que se ha resuelto es el sistema homogéneo $(B-I)M=0$: se buscan los vectores que $B$ deja invariantes.

$\mathbf{\text{2.2.}}\mathbf{\text{Discuta,}}\mathbf{\text{seg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}m\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema.}}$

La matriz de coeficientes y la ampliada son:

$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 2m-2& m+6\\ 1& m-2& 3\\ 0& 2& 2m+2\end{array}\right)A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}2& 2m-2& m+6& 9\\ 1& m-2& 3& 2\\ 0& 2& 2m+2& m-5\end{array}\right)$

Se empieza por el determinante de $A$, desarrollando por la primera columna:

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=2\mid \begin{array}{cc}m-2& 3\\ 2& 2m+2\end{array}\mid -1\cdot \mid \begin{array}{cc}2m-2& m+6\\ 2& 2m+2\end{array}\mid$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=2[(m-2)(2m+2)-6]-[(2m-2)(2m+2)-2(m+6)]$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=2(2m^2-2m-10)-(4m^2-2m-16)=4m^2-4m-20-4m^2+2m+16$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=-2m-4=-2(m+2)$

El determinante se anula únicamente en $m=-2$.

$\mathbf{\text{Caso}}m\mathrm{\ne }-2$. Entonces $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$, luego $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=3$, que coincide con el número de incógnitas. Por el teorema de Rouché-Frobenius el sistema es $\mathbf{\text{compatible}}\mathbf{\text{determinado}}$: tiene solución única.

$\mathbf{\text{Caso}}m=-2$. La ampliada queda:

$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}2& -6& 4& 9\\ 1& -4& 3& 2\\ 0& 2& -2& -7\end{array}\right)$

El rango de $A$ es 2, porque su determinante es nulo y el menor formado por las dos primeras filas y las dos primeras columnas no lo es:

$\mid \begin{array}{cc}2& -6\\ 1& -4\end{array}\mid =-8+6=-2\mathrm{\ne }0$

Para el rango de la ampliada se orla ese menor con la columna de términos independientes:

$\mid \begin{array}{ccc}2& -6& 9\\ 1& -4& 2\\ 0& 2& -7\end{array}\mid =2[28-4]+6[-7-0]+9[2-0]=48-42+18=24\mathrm{\ne }0$

Luego $\mathrm{rg}(A)=2$ y $\mathrm{rg}(A^{\ast })=3$. Como los rangos no coinciden, el sistema es $\mathbf{\text{incompatible}}$: no tiene solución.

En resumen:

Valor de $m$	$\mathrm{rg}(A)$	$\mathrm{rg}(A^{\ast })$	Clasificación $m\mathrm{\ne }-2$	3	3	Compatible determinado (solución única) $m=-2$	2	3	Incompatible (sin solución)

Obsérvese que no hay ningún valor del parámetro para el que el sistema sea compatible indeterminado.