Examen de Matemáticas II de Galicia 2026 (convocatoria extraordinaria)

PREGUNTA 1. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD. (2 puntos)

CONTEXTO

Los índices de lectura tanto de libros como de cómics están aumentando en los últimos años, con especial incidencia entre los adolescentes. Según un informe sobre hábitos de lectura, más del 60 % de la población leyó un libro o un cómic en los últimos tres meses.

Para promover el hábito de la lectura, dentro de la política cultural del ayuntamiento, los responsables municipales de una ciudad gallega están organizando una feria de cómics para el próximo mes de septiembre. Según los datos proporcionados por los organizadores de otras ferias similares, el tiempo que una persona va a pasar en dicha feria puede considerarse que sigue una distribución normal de media igual a 50 minutos y desviación típica igual a 19.5 minutos.

Responda estos dos apartados: 1.1. y 1.2.

(Será preciso usar alguno o algunos de los siguientes valores, aunque no todos (entiéndase que $Z$ sigue una distribución $N(0,1)$): $P(Z\le 0.1)=0.5398$, $P(Z\le 0.26)=0.6026$, $P(Z\le 0.51)=0.6950$, $P(Z\le 1.03)=0.8485$, $P(Z\le 1.28)=0.8997$, $P(Z\le 2.33)=0.9901$.)

1.1. Calcule la probabilidad de que un asistente pase entre 45 y 70 minutos en la feria.

1.2. Si una persona entró a la feria a las 17:00, calcule la probabilidad de que salga antes de las 18:00 sabiendo que a las 17:45 aún estaba en la feria.

PREGUNTA 2. ÁLGEBRA. (2 puntos)

Responda uno de estos dos apartados: 2.1. o 2.2.

2.1. Dadas las matrices $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 2& 0\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$, se pide responder las siguientes cuestiones:

2.1.1. Calcule las matrices $X=A{A}^T$ e $Y=A^{T}A$, siendo $A^T$ la matriz traspuesta de A. ¿Son X o Y invertibles? Razone la respuesta y calcule las inversas en caso de que sea posible.

2.1.2. Calcule las matrices de la forma $M=\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)$ tales que $BM=M$.

2.2. Discuta, según los valores del parámetro $m$, el sistema

$\{\begin{array}{rcrcrcl}2x& +& (2m-2)y& +& (m+6)z& =& 9,\\ x& +& (m-2)y& +& 3z& =& 2,\\ & & 2y& +& (2m+2)z& =& m-5.\end{array}$

PREGUNTA 3. ANÁLISIS. (4 puntos)

Responda dos de estos tres apartados: 3.1., 3.2., 3.3.

3.1. Dado el polinomio $p(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$, calcule los coeficientes $a$, $b$, $c$ y $d$ si se sabe que $p$ tiene un extremo relativo en $(1,-6)$ y que la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $p$ en $x=-1$ es $y=4x+2$.

3.2. Dibuje la gráfica de una función $f:\mathbb{R}\setminus \{2\}\to \mathbb{R}$ que tenga las siguientes propiedades:

$f$, $f^{\mathrm{\prime }}$ y $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ tienen el mismo signo en el intervalo $(-1,2)$ y

${\displaystyle \underset{x\to 2^{+}}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty }}$.

Luego, dé explicaciones relacionando el dibujo con la monotonía, la convexidad o concavidad y el concepto de asíntota.

3.3. Dadas las funciones $f(x)=\cos x$ y $g(x)={\displaystyle \frac{4}{{\pi }^2}}{(x-{\displaystyle \frac{\pi }{2}})}^2$, dibuje la región encerrada por sus gráficas y calcule su área.

PREGUNTA 4. GEOMETRÍA. (2 puntos)

Responda uno de estos dos apartados: 4.1. o 4.2.

4.1. Considere la recta $r:{\displaystyle \frac{x-1}{2}}={\displaystyle \frac{y-1}{1}}={\displaystyle \frac{z}{3}}$.

4.1.1. Calcule la ecuación implícita o general del plano $\pi$ que contiene a la recta $r$ y al punto $Q(2,-1,1)$.

4.1.2. Compruebe que la recta $r$ es paralela al plano ${\pi }^{\ast }:x+y-z-1=0$. Calcule la distancia de $r$ a ${\pi }^{\ast }$.

4.2. Considere el punto $P(3,0,-1)$.

4.2.1. Calcule el punto $P^{\mathrm{\prime }}$ simétrico de $P$ con respecto al punto $Q(2,-1,2)$.

4.2.2. Calcule el punto $P^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ simétrico de $P$ con respecto al plano $\pi :x+2y+z-8=0$.