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Examen de Matemáticas II de Galicia 2022 (convocatoria ordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de Galicia, convocatoria ordinaria de 2022. Aquí hay 8 ejercicios publicados, 8 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Matrices

1. Números y Álgebra
Despeje

X

de la ecuación matricial

A B (X - I) = C

, donde

I

es la matriz identidad (asuma que el producto

A B

tiene inversa). Luego, calcule

X

A = (\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}), B = (\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{array}) y C = (\begin{array}{ccc} 2 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}) .

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Ejercicio 2: Sistemas de ecuaciones

2. Números y Álgebra
Discuta, según los valores del parámetro

m

, el sistema

{\begin{array}{rcrcrcr} x & + & (m - 3) y & + & m z & = & 1, \\ (m - 3) y & + & (m^{2} - m) z & = & 1, \\ x & + & m^{2} z & = & 0. \end{array}

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Ejercicio 3: Límites y continuidad

3. Análisis

a) Calcule los límites

\lim_{x \to 0} \frac{x \cos x}{\sin x}

\lim_{x \to 0^{+}} x \ln x

, donde

\ln x

es el logaritmo neperiano de

x

.
b) Dibuje la gráfica de una función

f

continua y no negativa en el intervalo

[0, 3]

tal que:

f (0) = 0

f (3) = 0

f^{''} > 0

en el intervalo

(0, 1)

f^{''} < 0

en el intervalo

(2, 3)

f

es constante en el intervalo

(1, 2)

Ver la solución del ejercicio 3

Ejercicio 4: Integrales y Áreas

4. Análisis
Obtenga la función

f

, sabiendo que

f^{''} (x) = 2 x - e^{- x}

y que la ecuación de la recta tangente a la gráfica de

f

en el punto de abscisa

x = 0

y = 3 x - 1

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Ejercicio 5: Rectas y Planos

5. Geometría

a) Obtenga la ecuación implícita o general del plano

π

que pasa por el punto

P (1, - 1, 0)

y es perpendicular a la recta

r : {\begin{cases} x = 1 + λ, \\ y = - 1, \\ z = 0, \end{cases} λ \in R

.
b) Calcule los dos puntos de la recta

r : {\begin{cases} x = λ, \\ y = λ, \\ z = λ, \end{cases} λ \in R

, cuya distancia al plano

π : x - 1 = 0

es igual a 2.

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Ejercicio 6: Rectas y Planos

6. Geometría

a) Halle los valores de

k

y de

m

que hacen que los puntos

A (k, 3, m)

B (2, 0, 2)

C (k, 2, 0)

estén alineados.
b) Estudie la posición relativa de las rectas

r : \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 2}{2}

s : \frac{x + 2}{3} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z + 1}{3}

. Si se cortan, calcule el punto de corte.

Ver la solución del ejercicio 6

Ejercicio 7: Probabilidad

7. Estadística y Probabilidad

a) Si

P (A \cup B) = \frac{1}{3}

P (B) = \frac{1}{4}

, calcule

P (A)

sabiendo que

A

B

son sucesos incompatibles. ¿Cuánto valdría

P (A)

si supusiéramos que

A

B

son, en lugar de incompatibles, independientes?
b) En una cierta ciudad, el 21% de las personas leen ciencia ficción, el 63% leen novela negra, y el 17% leen tanto ciencia ficción como novela negra. Si se elige al azar una persona de esa ciudad, calcule:
La probabilidad de que lea novela negra sabiendo que lee ciencia ficción.
La probabilidad de que no lea ni ciencia ficción ni novela negra.

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Ejercicio 8: Distribución normal

8. Estadística y Probabilidad

a) Calcule el valor de

P (- 2 \leq X \leq 7)

X

sigue una distribución normal de media 1 y desviación típica 3.
b) Calcule el valor de

α

que hace que

P (μ - α \leq X \leq μ + α) = 0.8064

X

sigue una distribución normal de media

μ

y desviación típica 4.

Ver la solución del ejercicio 8