Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

5. Geometría

a) Obtenga la ecuación implícita o general del plano $\pi$ que pasa por el punto $P(1,-1,0)$ y es perpendicular a la recta $r:\{\begin{array}{l}x=1+\lambda ,\\ y=-1,\\ z=0,\end{array}\lambda \in \mathbb{R}$.
b) Calcule los dos puntos de la recta $r:\{\begin{array}{l}x=\lambda ,\\ y=\lambda ,\\ z=\lambda ,\end{array}\lambda \in \mathbb{R}$, cuya distancia al plano $\pi :x-1=0$ es igual a 2.

De las ecuaciones paramétricas de la recta leemos su vector director.

$r:\{\begin{array}{l}x=1+\lambda \\ y=-1\\ z=0\end{array}\Rightarrow {\vec{v}}_r=(1,0,0)$

Si el plano es perpendicular a la recta, el director de la recta es el vector normal del plano.

${\vec{n}}_{\pi }={\vec{v}}_r=(1,0,0)\Rightarrow \pi :x+0\cdot y+0\cdot z+D=0$

$P(1,-1,0)\in \pi \Rightarrow 1+D=0\Rightarrow D=-1$

Finalmente, $\pi :x-1=0$, es decir, el plano $x=1$.



Un punto genérico de la recta es $R(\lambda ,\lambda ,\lambda )$. Aplicamos la fórmula de la distancia de un punto a un plano y le imponemos que valga 2.

$d(R,\pi )={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }1\cdot \lambda +0\cdot \lambda +0\cdot \lambda -1\mathrm{\mid }}{\sqrt{1^2+0^2+0^2}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\lambda -1\mathrm{\mid }}{1}}=\mathrm{\mid }\lambda -1\mathrm{\mid }$

$\mathrm{\mid }\lambda -1\mathrm{\mid }=2\Rightarrow \{\begin{array}{l}\lambda -1=2\Rightarrow \lambda =3\\ \lambda -1=-2\Rightarrow \lambda =-1\end{array}$

El valor absoluto da dos soluciones, una a cada lado del plano, y las dos son válidas porque la distancia no distingue el lado.

$\lambda =3\Rightarrow R_1(3,3,3)\lambda =-1\Rightarrow R_2(-1,-1,-1)$

Los dos puntos de la recta que distan 2 unidades del plano son $(3,3,3)$ y $(-1,-1,-1)$.