Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

2. Números y Álgebra
Discuta, según los valores del parámetro $m$, el sistema $\{\begin{array}{rcrcrcr}x& +& (m-3)y& +& mz& =& 1,\\ & & (m-3)y& +& (m^2-m)z& =& 1,\\ x& & & +& m^{2}z& =& 0.\end{array}$

$\mathbf{\text{Discuta,}}\mathbf{\text{seg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{m}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema.}}$

Llamamos $M$ a la matriz de coeficientes y $M^{\ast }$ a la ampliada, y aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius.

$M=\left(\begin{array}{ccc}1& m-3& m\\ 0& m-3& m^2-m\\ 1& 0& m^2\end{array}\right)M^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& m-3& m& 1\\ 0& m-3& m^2-m& 1\\ 1& 0& m^2& 0\end{array}\right)$

Restamos la primera fila a la tercera, que comparten el primer elemento, y desarrollamos.



$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=2(m-3)(m^2-m)=2m(m-3)(m-1)$

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}m=0\\ m=1\\ m=3\end{array}$

Si $m\mathrm{\ne }0$, $m\mathrm{\ne }1$ y $m\mathrm{\ne }3$, entonces $\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(M)=\mathrm{ran}(M^{\ast })=3=\text{n.º de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$ y el sistema es compatible determinado.

Si $m=0$, la matriz ampliada es:

$M^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& -3& 0& 1\\ 0& -3& 0& 1\\ 1& 0& 0& 0\end{array}\right)$

La tercera columna de $M$ es nula, luego su rango no llega a 3; y el menor

$\mid \begin{array}{cc}1& -3\\ 0& -3\end{array}\mid =-3\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(M)=2$

La tercera fila es la primera menos la segunda, y la relación se conserva en la columna de términos independientes: $(1,0,0\mid 0)=(1,-3,0\mid 1)-(0,-3,0\mid 1)$, luego $\mathrm{ran}(M^{\ast })=2$.

$\mathrm{ran}(M)=\mathrm{ran}(M^{\ast })=2<3\Rightarrow \text{sistema compatible indeterminado}$

Si $m=1$, la matriz ampliada es:

$M^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& -2& 1& 1\\ 0& -2& 0& 1\\ 1& 0& 1& 0\end{array}\right)$

$\mid \begin{array}{cc}1& -2\\ 0& -2\end{array}\mid =-2\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(M)=2$

De nuevo la tercera fila es la primera menos la segunda, también en los términos independientes, así que $\mathrm{ran}(M^{\ast })=2$ y el sistema es compatible indeterminado.

Si $m=3$, la matriz ampliada es:

$M^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 3& 1\\ 0& 0& 6& 1\\ 1& 0& 9& 0\end{array}\right)$

La segunda columna de $M$ es nula y el menor

$\mid \begin{array}{cc}1& 3\\ 0& 6\end{array}\mid =6\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(M)=2$

Orlamos con la columna de términos independientes:

$\mid \begin{array}{ccc}1& 3& 1\\ 0& 6& 1\\ 1& 9& 0\end{array}\mid =0+3+0-6-9-0=-12\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(M^{\ast })=3$

$\mathrm{ran}(M)=2\mathrm{\ne }3=\mathrm{ran}(M^{\ast })\Rightarrow \text{sistema incompatible}$

En resumen: compatible determinado si $m\mathrm{\ne }0,1,3$; compatible indeterminado con un parámetro si $m=0$ o $m=1$; e incompatible si $m=3$.