Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

PREGUNTA 2. Números y Álgebra. (2 puntos)
Discuta, según los valores del parámetro $m$, el siguiente sistema: $\{\begin{array}{rcrcrcl}2x& +& y& +& z& =& m,\\ x& -& y& +& 2z& =& 2m,\\ mx& & & +& 3z& =& m\mathrm{.}\end{array}$

$\mathbf{\text{Discuta,}}\mathbf{\text{seg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{m}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{siguiente}}\mathbf{\text{sistema.}}$

Llamamos $M$ a la matriz de coeficientes y $M^{\ast }$ a la ampliada, y aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius.

$M=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& -1& 2\\ m& 0& 3\end{array}\right)M^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}2& 1& 1& m\\ 1& -1& 2& 2m\\ m& 0& 3& m\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& -1& 2\\ m& 0& 3\end{array}\mid =-6+2m+0+m-0-3=3m-9=3(m-3)$

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=0\Rightarrow 3(m-3)=0\Rightarrow m=3$

Si $m\mathrm{\ne }3$, entonces $\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(M)=\mathrm{ran}(M^{\ast })=3=\text{n.º de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$ y el sistema es compatible determinado.

Si $m=3$, la matriz ampliada es:

$M^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}2& 1& 1& 3\\ 1& -1& 2& 6\\ 3& 0& 3& 3\end{array}\right)$

Sabemos que $\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=0$, y el menor

$\mid \begin{array}{cc}2& 1\\ 1& -1\end{array}\mid =-2-1=-3\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(M)=2$

Orlamos ese menor con la columna de términos independientes:

$\mid \begin{array}{ccc}2& 1& 3\\ 1& -1& 6\\ 3& 0& 3\end{array}\mid =-6+18+0+9-0-3=18\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(M^{\ast })=3$

$\mathrm{ran}(M)=2\mathrm{\ne }3=\mathrm{ran}(M^{\ast })\Rightarrow \text{sistema incompatible}$

En resumen: el sistema es compatible determinado para todo $m\mathrm{\ne }3$ e incompatible para $m=3$.