Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Ejercicio A1
Discute la existencia de soluciones del sistema de ecuaciones lineales que sigue en función de los valores del parámetro $\alpha$:
$\{\begin{array}{l}\alpha x+2y-2z=2,\\ 2x+2y-2z=\alpha ,\\ \alpha x+2y-z=1.\end{array}$
Resuelve el sistema para $\alpha =1$, si es posible.

$\mathbf{\text{Discute}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{existencia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{soluciones}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{\alpha }\mathbf{\text{.}}$

La discusión se hace con el teorema de Rouché-Frobenius, así que empezamos por el determinante de la matriz de coeficientes.

$A=\left(\begin{array}{ccc}\alpha & 2& -2\\ 2& 2& -2\\ \alpha & 2& -1\end{array}\right)$

Restando la primera fila de la tercera, que no altera el determinante, queda una fila con dos ceros:

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}\alpha & 2& -2\\ 2& 2& -2\\ 0& 0& 1\end{array}\mid =1\cdot \mid \begin{array}{cc}\alpha & 2\\ 2& 2\end{array}\mid =2\alpha -4=2(\alpha -2)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\iff \alpha =2$

Distinguimos los dos casos.

i) Si $\alpha \mathrm{\ne }2$, el determinante no se anula, luego $\text{rg}(A)=\text{rg}(A^{\ast })=3$ y el sistema es compatible determinado.

ii) Si $\alpha =2$, la matriz ampliada es:

$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}2& 2& -2& 2\\ 2& 2& -2& 2\\ 2& 2& -1& 1\end{array}\right)$

Las dos primeras filas son idénticas, de modo que una sobra. El menor $\mid \begin{array}{cc}2& -2\\ 2& -1\end{array}\mid =2\mathrm{\ne }0$ da $\text{rg}(A)=2$, y al orlarlo con la columna de términos independientes se obtiene también $\text{rg}(A^{\ast })=2$, luego el sistema es compatible indeterminado.

El sistema es compatible determinado para todo $\alpha \mathrm{\ne }2$ y compatible indeterminado para $\alpha =2$; nunca es incompatible.



Sí es posible: para $\alpha =1$ el sistema es compatible determinado, con $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=2(1-2)=-2\mathrm{\ne }0$.

$\{\begin{array}{l}x+2y-2z=2\\ 2x+2y-2z=1\\ x+2y-z=1\end{array}$

Restando la primera ecuación de la segunda se eliminan $y$ y $z$:

$x=-1$

Restando la primera de la tercera:

$z=-1$

Y sustituyendo ambos en la primera ecuación:

$-1+2y+2=2\Rightarrow 2y=1\Rightarrow y={\displaystyle \frac{1}{2}}$

Comprobamos en la segunda ecuación: $-2+1+2=1$.

Para $\alpha =1$ la solución es $x=-1$, $y={\displaystyle \frac{1}{2}}$, $z=-1$.