Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Ejercicio A1
(2 p) Discute la existencia de solución del siguiente sistema en función de los valores del parámetro $\alpha$:
$\{\begin{array}{l}\alpha x+y+z=2,\\ x+2y+(\alpha -1)z=-1,\\ 2x+y+(\alpha -2)z=1.\end{array}$

(0,5 p) Resuelve el sistema, si es posible, en el caso $\alpha =1$.

$\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{p)}}\mathbf{\text{Discute}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{existencia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{\alpha }\mathbf{\text{.}}$

La discusión se hace con el teorema de Rouché-Frobenius, así que empezamos por el determinante de la matriz de coeficientes.

$A=\left(\begin{array}{ccc}\alpha & 1& 1\\ 1& 2& \alpha -1\\ 2& 1& \alpha -2\end{array}\right)$

Desarrollando por la primera fila:

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\alpha [2(\alpha -2)-(\alpha -1)]-[(\alpha -2)-2(\alpha -1)]+[1-4]$

$=\alpha (\alpha -3)-(-\alpha )-3={\alpha }^2-3\alpha +\alpha -3={\alpha }^2-2\alpha -3$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=(\alpha -3)(\alpha +1)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}\alpha =3\\ \alpha =-1\end{array}$

Distinguimos los tres casos.

i) Si $\alpha \mathrm{\ne }3$ y $\alpha \mathrm{\ne }-1$, el determinante no se anula, luego $\text{rg}(A)=\text{rg}(A^{\ast })=3$ y el sistema es compatible determinado.

ii) Si $\alpha =3$, la matriz ampliada es:

$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}3& 1& 1& 2\\ 1& 2& 2& -1\\ 2& 1& 1& 1\end{array}\right)$

El menor $\mid \begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 2\end{array}\mid =5\mathrm{\ne }0$ da $\text{rg}(A)\ge 2$, y al orlarlo con la columna de términos independientes:

$\mid \begin{array}{ccc}3& 1& 2\\ 1& 2& -1\\ 2& 1& 1\end{array}\mid =3(2+1)-1(1+2)+2(1-4)=9-3-6=0$

Luego $\text{rg}(A)=\text{rg}(A^{\ast })=2<3$ y el sistema es compatible indeterminado.

iii) Si $\alpha =-1$:

$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}-1& 1& 1& 2\\ 1& 2& -2& -1\\ 2& 1& -3& 1\end{array}\right)$

$\mid \begin{array}{ccc}-1& 1& 2\\ 1& 2& -1\\ 2& 1& 1\end{array}\mid =-1(2+1)-1(1+2)+2(1-4)=-3-3-6=-12\mathrm{\ne }0$

Luego $\text{rg}(A)=2$ pero $\text{rg}(A^{\ast })=3$ y el sistema es incompatible.

En resumen: el sistema es compatible determinado si $\alpha \mathrm{\ne }3$ y $\alpha \mathrm{\ne }-1$; compatible indeterminado si $\alpha =3$; e incompatible si $\alpha =-1$.



Para $\alpha =1$ estamos en el primer caso, luego el sistema es compatible determinado y tiene solución única.

$\{\begin{array}{l}x+y+z=2\\ x+2y=-1\\ 2x+y-z=1\end{array}$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=(1-3)(1+1)=-4\mathrm{\ne }0$

Sumando la primera y la tercera ecuación se elimina la $z$:

$3x+2y=3$

Restando de ella la segunda ecuación:

$(3x+2y)-(x+2y)=3-(-1)\Rightarrow 2x=4\Rightarrow x=2$

$2+2y=-1\Rightarrow y=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$

$z=2-x-y=2-2+{\displaystyle \frac{3}{2}}={\displaystyle \frac{3}{2}}$

La solución para $\alpha =1$ es $x=2$, $y=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$, $z={\displaystyle \frac{3}{2}}$.