Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Cuestión 1.

Considere el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro $a$:
$\{\begin{array}{l}x+y-z=4\\ x+a^{2}y-z=3-a\\ x-y+az=1\end{array}$
a) [1 p.] Determine para qué valores de $a$ el sistema tiene solución única. Si es posible, calcule dicha solución para $a=0$.
b) [1 p.] Determine para qué valor de $a$ el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvalo en ese caso.
c) [0,5 p.] Determine para qué valor de $a$ el sistema no tiene solución.

Aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius, y para ello empezamos por el determinante de la matriz de coeficientes.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 1& a^2& -1\\ 1& -1& a\end{array}\mid =(a-1)(a+1{)}^2$

$(a-1)(a+1{)}^2=0\Rightarrow a=1\text{ o }a=-1$



Mientras el determinante no se anule, los dos rangos valen tres y el sistema es compatible determinado.

$a\mathrm{\ne }1\text{ y }a\mathrm{\ne }-1\Rightarrow \text{ rg}(A)=\text{rg}(A^{\ast })=3=\text{n}\acute{\text{u}}\text{mero de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

Para $a=0$, que está en ese caso, el sistema queda

$\{\begin{array}{l}x+y-z=4\\ x-z=3\\ x-y=1\end{array}$

Las dos últimas ecuaciones dan $z=x-3$ e $y=x-1$, y sustituyendo en la primera:

$x+(x-1)-(x-3)=4\Rightarrow x+2=4\Rightarrow x=2$

$y=1,z=-1$

Hay solución única para todo $a$ distinto de 1 y de $-1$; en el caso $a=0$ vale $(2,1,-1)$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{p.]}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathit{a}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{infinitas}}\mathbf{\text{soluciones}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{resu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lvalo}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{caso.}}$

Para $a=-1$ las dos primeras filas de la ampliada son idénticas, así que la segunda ecuación sobra.

$\mid \begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\mid =-2\mathrm{\ne }0\Rightarrow \text{ rg}(A)=\text{rg}(A^{\ast })=2<3$

El sistema es compatible indeterminado. Nos quedamos con dos ecuaciones y tomamos $z=t$ como parámetro.

$\{\begin{array}{l}x+y-z=4\\ x-y-z=1\end{array}$

Sumando y restando ambas:

$2x-2z=5\Rightarrow x=t+{\displaystyle \frac{5}{2}};2y=3\Rightarrow y={\displaystyle \frac{3}{2}}$

Para $a=-1$ hay infinitas soluciones, los puntos $(t+{\displaystyle \frac{5}{2}},{\displaystyle \frac{3}{2}},t)$ con $t$ real.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{p.]}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathit{a}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}$

Queda el otro valor crítico. Para $a=1$ las dos primeras ecuaciones tienen los mismos coeficientes pero distinto término independiente, 4 y 2, lo que ya anticipa la incompatibilidad. Lo confirmamos con los rangos:

$\text{rg}(A)=2,\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 4\\ 1& 1& 2\\ 1& -1& 1\end{array}\mid =-4\mathrm{\ne }0\Rightarrow \text{ rg}(A^{\ast })=3$

Los rangos no coinciden, luego para $a=1$ el sistema es incompatible.