Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Cuestión 1.

[2,5 p.] La suma de las edades de Carmela, Esperanza y Aurora es 68 años. La edad de Carmela es 5 años más que la mitad de la suma de las edades de Esperanza y Aurora. Además, dentro de 4 años la edad de Aurora será la edad que actualmente tiene Esperanza. Calcule las edades de cada una de ellas.

$\mathbf{\text{Cuesti}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{1.}}\mathbf{\text{[2,5}}\mathbf{\text{p.]}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{suma}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{edades}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Carmela,}}\mathbf{\text{Esperanza}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{Aurora}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{68}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os.}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{edad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Carmela}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{5}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{mitad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{suma}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{edades}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Esperanza}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{Aurora.}}\mathbf{\text{Adem}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s,}}\mathbf{\text{dentro}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{4}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{edad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Aurora}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{edad}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{actualmente}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{Esperanza.}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{edades}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ellas.}}$

Llamamos $x$, $y$ y $z$ a las edades actuales de Carmela, Esperanza y Aurora, y traducimos a una ecuación cada una de las tres frases.

$x+y+z=68$

$x=5+{\displaystyle \frac{y+z}{2}}\Rightarrow 2x-y-z=10$

$z+4=y\Rightarrow -y+z=-4$

$\{\begin{array}{l}x+y+z=68\\ 2x-y-z=10\\ -y+z=-4\end{array}$

Comprobamos que la solución es única con el determinante de la matriz de coeficientes.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& -1& -1\\ 0& -1& 1\end{array}\mid =-2-2-2=-6\mathrm{\ne }0$

Sumando las dos primeras ecuaciones desaparecen $y$ y $z$ de golpe, así que resolvemos por reducción.

$3x=78\Rightarrow x=26$

$y+z=68-26=42$

Junto con la tercera ecuación queda un sistema de dos incógnitas:

$\{\begin{array}{l}y+z=42\\ -y+z=-4\end{array}\Rightarrow 2z=38\Rightarrow z=19$

$y=42-19=23$

Comprobamos la segunda condición: $5+{\displaystyle \frac{23+19}{2}}=5+21=26$.

Carmela tiene 26 años, Esperanza 23 y Aurora 19.