Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Ejercicio 2A (2,5 puntos)

Se tiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

$\{\begin{array}{l}\alpha x-2y+z=\alpha \\ x-2y+\alpha z=\alpha \\ -2x+y+\alpha z=-2.\end{array}$

(a) (1 punto) Encuentra los valores del parámetro $\alpha$ para los que el sistema tiene una única solución.

(b) (0,75 puntos) ¿Hay algún valor del parámetro $\alpha$ para el que el sistema no tiene solución? Razona tu respuesta.

(c) (0,75 puntos) ¿Hay algún valor del parámetro $\alpha$ para el que el sistema tiene más de una solución? Si la respuesta es afirmativa, calcula esos valores de $\alpha$ y, para cada uno de ellos, encuentra dos soluciones distintas del sistema.

$\mathbf{\text{(a)}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}\mathbf{\text{Encuentra}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{\alpha }\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{una}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{nica}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}$

Un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas tiene solución única cuando es compatible determinado, y eso ocurre exactamente cuando el determinante de la matriz de coeficientes no se anula. Lo calculamos.

$A=\left(\begin{array}{ccc}\alpha & -2& 1\\ 1& -2& \alpha \\ -2& 1& \alpha \end{array}\right)$

Desarrollamos por la primera fila:

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\alpha \mid \begin{array}{cc}-2& \alpha \\ 1& \alpha \end{array}\mid +2\mid \begin{array}{cc}1& \alpha \\ -2& \alpha \end{array}\mid +1\mid \begin{array}{cc}1& -2\\ -2& 1\end{array}\mid$

$=\alpha (-2\alpha -\alpha )+2(\alpha +2\alpha )+(1-4)$

$=-3{\alpha }^2+6\alpha -3=-3({\alpha }^2-2\alpha +1)=-3(\alpha -1{)}^2$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\iff -3(\alpha -1{)}^2=0\iff \alpha =1$

El sistema tiene una única solución para todo $\alpha \mathrm{\ne }1$.

$\mathbf{\text{(b)}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{¿Hay}}\mathbf{\text{alg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{\alpha }\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n?}}\mathbf{\text{Razona}}\mathbf{\text{tu}}\mathbf{\text{respuesta.}}$

El único valor que puede dar problemas es el que anula el determinante, es decir, $\alpha =1$; para cualquier otro el sistema es compatible determinado. Estudiamos entonces ese caso escalonando la matriz ampliada.

$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& -2& 1& 1\\ 1& -2& 1& 1\\ -2& 1& 1& -2\end{array}\right)$

Las dos primeras ecuaciones son idénticas, de modo que una de ellas sobra. Haciendo $F_2-F_1$:

$\left(\begin{array}{cccc}1& -2& 1& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ -2& 1& 1& -2\end{array}\right)$

$\text{rg}(A)=\text{rg}(A^{\ast })=2$

Como los dos rangos coinciden, por el teorema de Rouché-Frobenius el sistema es compatible también para $\alpha =1$.

No hay ningún valor de $\alpha$ para el que el sistema carezca de solución: es compatible para todo valor del parámetro.

$\mathbf{\text{(c)}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{¿Hay}}\mathbf{\text{alg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{\alpha }\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n?}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{respuesta}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{afirmativa,}}\mathbf{\text{calcula}}\mathbf{\text{esos}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{\alpha }\mathbf{\text{y,}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{uno}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ellos,}}\mathbf{\text{encuentra}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{soluciones}}\mathbf{\text{distintas}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sistema.}}$

Sí: el único candidato es $\alpha =1$, y en el apartado anterior hemos visto que ahí el sistema es compatible con rango $2$, menor que el número de incógnitas, luego es compatible indeterminado con un grado de libertad.

$\text{rg}(A)=\text{rg}(A^{\ast })=2<3=\text{n}\acute{\text{u}}\text{mero de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

Nos quedamos con las dos ecuaciones independientes y tomamos $z$ como parámetro:

$\{\begin{array}{l}x-2y+z=1\\ -2x+y+z=-2\end{array},z=\lambda$

De la primera, $x=1+2y-\lambda$. Sustituyendo en la segunda:

$-2(1+2y-\lambda )+y+\lambda =-2$

$-2-4y+2\lambda +y+\lambda =-2\Rightarrow -3y+3\lambda =0\Rightarrow y=\lambda$

$x=1+2\lambda -\lambda =1+\lambda$

$(x,y,z)=(1+\lambda ,\lambda ,\lambda ),\lambda \in \mathbb{R}$

Dando dos valores cualesquiera al parámetro obtenemos dos soluciones distintas:

$\lambda =0\Rightarrow (1,0,0);\lambda =1\Rightarrow (2,1,1)$

El sistema tiene más de una solución únicamente para $\alpha =1$, y dos de esas infinitas soluciones son $(1,0,0)$ y $(2,1,1)$.