Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Considere el sistema de ecuaciones siguiente, donde $m$ es un parámetro real:

$\begin{array}{r}x-3y+mz=-2\\ x+my+2z=3\\ x+y+2z=m\end{array}\}$

a) Discuta el sistema según el valor del parámetro $m$. [1,25 puntos]
b) Encuentre la solución del sistema para $m=0$. [0,5 puntos]
c) Para $m=2$, dé una solución $(x,y,z)$ del sistema que, además, cumpla $x=5y$. [0,75 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Discuta}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{seg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{m}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la ampliada $A^{\ast }$, y aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius.

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -3& m\\ 1& m& 2\\ 1& 1& 2\end{array}\right),A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& -3& m& -2\\ 1& m& 2& 3\\ 1& 1& 2& m\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& -3& m\\ 1& m& 2\\ 1& 1& 2\end{array}\mid =2m-6+m-(m^2+2-6)=-m^2+3m-2$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow m^2-3m+2=0\Rightarrow m={\displaystyle \frac{3\pm \sqrt{9-8}}{2}}={\displaystyle \frac{3\pm 1}{2}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{m}_1=1\\ m_2=2\end{array}$

Si $m\mathrm{\ne }1$ y $m\mathrm{\ne }2$, entonces $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$ y

$\mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=3=\text{n}\acute{\text{u}}\text{mero de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}\Rightarrow \text{sistema compatible determinado.}$

Si $m=1$, la matriz ampliada es

$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& -3& 1& -2\\ 1& 1& 2& 3\\ 1& 1& 2& 1\end{array}\right)$

$\mid \begin{array}{cc}1& -3\\ 1& 1\end{array}\mid =1+3=4\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=2$

Orlamos ese menor con la columna de términos independientes:

$\mid \begin{array}{ccc}1& -3& -2\\ 1& 1& 3\\ 1& 1& 1\end{array}\mid =1-9-2-(-2+3-3)=-10+2=-8\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A^{\ast })=3$

$\mathrm{ran}(A)=2\mathrm{\ne }3=\mathrm{ran}(A^{\ast })\Rightarrow \text{sistema incompatible.}$

Se ve también sin cálculos: para $m=1$ las ecuaciones segunda y tercera tienen los mismos coeficientes y distinto término independiente.

Si $m=2$,

$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& -3& 2& -2\\ 1& 2& 2& 3\\ 1& 1& 2& 2\end{array}\right)$

$\mid \begin{array}{cc}1& -3\\ 1& 2\end{array}\mid =2+3=5\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=2$

$\mid \begin{array}{ccc}1& -3& -2\\ 1& 2& 3\\ 1& 1& 2\end{array}\mid =4-9-2-(-4+3-6)=-7+7=0\Rightarrow \mathrm{ran}(A^{\ast })=2$

$\mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=2<3=\text{n}\acute{\text{u}}\text{mero de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}\Rightarrow \text{sistema compatible indeterminado.}$

El sistema es compatible determinado si $m\mathrm{\ne }1$ y $m\mathrm{\ne }2$, incompatible si $m=1$ y compatible indeterminado si $m=2$.



Para $m=0$ el sistema es compatible determinado y lo resolvemos por la regla de Cramer.

$\{\begin{array}{l}x-3y=-2\\ x+2z=3\\ x+y+2z=0\end{array},\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=-0^2+3\cdot 0-2=-2$

$x={\displaystyle \frac{\mid \begin{array}{ccc}-2& -3& 0\\ 3& 0& 2\\ 0& 1& 2\end{array}\mid }{-2}}={\displaystyle \frac{0+0+0-(0-4-18)}{-2}}={\displaystyle \frac{22}{-2}}=-11$

$y={\displaystyle \frac{\mid \begin{array}{ccc}1& -2& 0\\ 1& 3& 2\\ 1& 0& 2\end{array}\mid }{-2}}={\displaystyle \frac{6-4+0-(0+0-4)}{-2}}={\displaystyle \frac{6}{-2}}=-3$

$z={\displaystyle \frac{\mid \begin{array}{ccc}1& -3& -2\\ 1& 0& 3\\ 1& 1& 0\end{array}\mid }{-2}}={\displaystyle \frac{0-9-2-(0+3+0)}{-2}}={\displaystyle \frac{-14}{-2}}=7$

Para $m=0$ la solución única del sistema es $x=-11$, $y=-3$, $z=7$.



Para $m=2$ el sistema es compatible indeterminado, así que primero escribimos todas sus soluciones y después imponemos la condición adicional. El sistema es

$\{\begin{array}{l}x-3y+2z=-2\\ x+2y+2z=3\\ x+y+2z=2\end{array}$

Restando la primera ecuación de la segunda desaparecen $x$ y $z$:

$5y=5\Rightarrow y=1$

Sustituyendo en la tercera ecuación y despejando $x$:

$x+1+2z=2\Rightarrow x=1-2z$

$\{\begin{array}{l}x=1-2\lambda \\ y=1\\ z=\lambda \end{array}\lambda \in \mathbb{R}$

Imponemos ahora $x=5y$:

$1-2\lambda =5\cdot 1\Rightarrow -2\lambda =4\Rightarrow \lambda =-2$

$x=1-2\cdot (-2)=5,y=1,z=-2$

La solución pedida es $(x,y,z)=(5,1,-2)$, que en efecto cumple $x=5y$.