Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Considere el sistema de ecuaciones lineales siguiente, que depende del parámetro real $a$:

$\{\begin{array}{l}ax+2y+3z=2\\ 2x+ay+z=a\\ x+y+4z=1\end{array}$

a) Discuta el sistema para los diferentes valores del parámetro $a$. [1,5 puntos]
b) Resuelva, si es posible, el sistema para el caso $a=2$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Discuta}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{diferentes}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{a}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(1,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Escribimos las matrices de coeficientes y ampliada y aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius.

$A=\left(\begin{array}{ccc}a& 2& 3\\ 2& a& 1\\ 1& 1& 4\end{array}\right),A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}a& 2& 3& 2\\ 2& a& 1& a\\ 1& 1& 4& 1\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=4a^2+2+6-(3a+a+16)=4a^2+8-4a-16=4a^2-4a-8$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow 4(a^2-a-2)=0\Rightarrow a={\displaystyle \frac{1\pm \sqrt{1+8}}{2}}={\displaystyle \frac{1\pm 3}{2}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=2\\ a=-1\end{array}$

Si $a\mathrm{\ne }2$ y $a\mathrm{\ne }-1$, entonces $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$ y

$\mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=3=\text{n}\acute{\text{u}}\text{mero de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}\Rightarrow \text{sistema compatible determinado.}$

Si $a=-1$:

$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}-1& 2& 3& 2\\ 2& -1& 1& -1\\ 1& 1& 4& 1\end{array}\right)$

$\mid \begin{array}{cc}-1& 2\\ 2& -1\end{array}\mid =1-4=-3\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=2$

$\mid \begin{array}{ccc}-1& 2& 2\\ 2& -1& -1\\ 1& 1& 1\end{array}\mid =1-2+4-(-2+1+4)=3-3=0\Rightarrow \mathrm{ran}(A^{\ast })=2$

$\mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=2<3\Rightarrow \text{sistema compatible indeterminado.}$

Si $a=2$:

$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}2& 2& 3& 2\\ 2& 2& 1& 2\\ 1& 1& 4& 1\end{array}\right)$

Las dos primeras columnas son iguales, así que el menor no nulo hay que buscarlo con las columnas de $y$ y $z$.

$\mid \begin{array}{cc}2& 3\\ 2& 1\end{array}\mid =2-6=-4\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=2$

$\mid \begin{array}{ccc}2& 3& 2\\ 2& 1& 2\\ 1& 4& 1\end{array}\mid =2+6+16-(2+16+6)=24-24=0\Rightarrow \mathrm{ran}(A^{\ast })=2$

$\mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=2<3\Rightarrow \text{sistema compatible indeterminado.}$

El sistema es compatible determinado para $a\mathrm{\ne }-1$ y $a\mathrm{\ne }2$, y compatible indeterminado para $a=-1$ y para $a=2$; no es incompatible para ningún valor del parámetro.



Para $a=2$ el sistema es compatible indeterminado, con una infinidad de soluciones que dependen de un parámetro. El sistema es

$\{\begin{array}{l}2x+2y+3z=2\\ 2x+2y+z=2\\ x+y+4z=1\end{array}$

Restando la segunda ecuación de la primera se van todas las incógnitas salvo $z$:

$2z=0\Rightarrow z=0$

Sustituyendo en la tercera ecuación:

$x+y+0=1\Rightarrow x=1-y$

$\{\begin{array}{l}x=1-\mu \\ y=\mu \\ z=0\end{array}\mu \in \mathbb{R}$

Para $a=2$ el sistema tiene infinitas soluciones: todos los puntos de la recta $(1-\mu ,\mu ,0)$, con $\mu \in \mathbb{R}$.