Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Considere el sistema de ecuaciones lineales siguiente, que depende del parámetro real $p$:

$\{\begin{array}{l}px+y+z=2\\ 2x+py+p^{2}z=1\\ 2x+y+z=2\end{array}$

a) Discuta el sistema para los diferentes valores del parámetro $p$. [1,5 puntos]
b) Resuelva, si es posible, el sistema para el caso $p=2$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Discuta}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{diferentes}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{p}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(1,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Escribimos la matriz de coeficientes y la ampliada y aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius.

$A=\left(\begin{array}{ccc}p& 1& 1\\ 2& p& p^2\\ 2& 1& 1\end{array}\right),A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}p& 1& 1& 2\\ 2& p& p^2& 1\\ 2& 1& 1& 2\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=p^2+2p^2+2-(2p+p^3+2)=3p^2-2p-p^3$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=-p(p^2-3p+2)=-p(p-1)(p-2)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}p=0\\ p=1\\ p=2\end{array}$

Si $p\mathrm{\ne }0$, $p\mathrm{\ne }1$ y $p\mathrm{\ne }2$, entonces $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$ y

$\mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=3=\text{n}\acute{\text{u}}\text{mero de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}\Rightarrow \text{sistema compatible determinado.}$

Si $p=0$:

$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 1& 2\\ 2& 0& 0& 1\\ 2& 1& 1& 2\end{array}\right)$

$\mid \begin{array}{cc}0& 1\\ 2& 0\end{array}\mid =-2\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=2$

$\mid \begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ 2& 0& 1\\ 2& 1& 2\end{array}\mid =0+2+4-(0+0+4)=2\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A^{\ast })=3$

$\mathrm{ran}(A)=2\mathrm{\ne }3=\mathrm{ran}(A^{\ast })\Rightarrow \text{sistema incompatible.}$

Se ve también sin cálculos: la tercera fila de $A$ es la suma de las dos primeras, pero en los términos independientes $2+1=3\mathrm{\ne }2$.

Si $p=1$, las ecuaciones segunda y tercera tienen los mismos coeficientes, $2x+y+z$, y distinto término independiente, 1 y 2. Es imposible que se cumplan a la vez, luego el sistema es incompatible.

Si $p=2$:

$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}2& 1& 1& 2\\ 2& 2& 4& 1\\ 2& 1& 1& 2\end{array}\right)$

Ahora las filas primera y tercera son idénticas, también en el término independiente, así que la tercera ecuación es superflua.

$\mid \begin{array}{cc}2& 1\\ 2& 2\end{array}\mid =4-2=2\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=2<3$

$\Rightarrow \text{sistema compatible indeterminado.}$

El sistema es compatible determinado para $p\mathrm{\ne }0,1,2$, incompatible para $p=0$ y $p=1$, y compatible indeterminado para $p=2$.



Para $p=2$ el sistema es compatible indeterminado, con infinitas soluciones dependientes de un parámetro. Descartada la tercera ecuación, por ser igual a la primera, queda

$\{\begin{array}{l}2x+y+z=2\\ 2x+2y+4z=1\end{array}$

Restando la primera ecuación de la segunda desaparece $x$:

$y+3z=-1\Rightarrow y=-1-3z$

$2x=2-y-z=2+1+3z-z=3+2z\Rightarrow x={\displaystyle \frac{3}{2}}+z$

$\{\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{3}{2}}+\lambda \\ y=-1-3\lambda \\ z=\lambda \end{array}\lambda \in \mathbb{R}$

Para $p=2$ el sistema tiene infinitas soluciones: los puntos de la recta $(\frac{3}{2}+\lambda ,-1-3\lambda ,\lambda )$, con $\lambda \in \mathbb{R}$.