Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Sea el sistema de ecuaciones lineales $\{\begin{array}{l}2x+y=1+z\\ my+z=2-x\\ mz+3=3x+y\end{array}$, donde $m$ es un número real.

a) Discuta el sistema según los valores del parámetro $m$. [1,25 puntos]
b) Resuelva el sistema, si tiene solución, para el caso $m=1$. [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Discuta}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{seg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{m}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Antes de nada ordenamos el sistema dejando las incógnitas en el primer miembro y los términos independientes en el segundo.

$\{\begin{array}{l}2x+y-z=1\\ x+my+z=2\\ -3x-y+mz=-3\end{array}$

$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& -1\\ 1& m& 1\\ -3& -1& m\end{array}\right),A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}2& 1& -1& 1\\ 1& m& 1& 2\\ -3& -1& m& -3\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=2m^2-3+1-(3m-2+m)=2m^2-2-4m+2=2m^2-4m$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow 2m(m-2)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}m=0\\ m=2\end{array}$

Si $m\mathrm{\ne }0$ y $m\mathrm{\ne }2$, entonces $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$ y

$\mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=3=\text{n}\acute{\text{u}}\text{mero de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}\Rightarrow \text{sistema compatible determinado.}$

Si $m=0$:

$\mid \begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 0\end{array}\mid =0-1=-1\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=2$

$\mid \begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 0& 2\\ -3& -1& -3\end{array}\mid =0-6-1-(0-4-3)=-7+7=0\Rightarrow \mathrm{ran}(A^{\ast })=2$

$\mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=2<3\Rightarrow \text{sistema compatible indeterminado.}$

Si $m=2$:

$\mid \begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\mid =4-1=3\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=2$

$\mid \begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 2& 2\\ -3& -1& -3\end{array}\mid =-12-6-1-(-6-4-3)=-19+13=-6\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A^{\ast })=3$

$\mathrm{ran}(A)=2\mathrm{\ne }3=\mathrm{ran}(A^{\ast })\Rightarrow \text{sistema incompatible.}$

El sistema es compatible determinado para $m\mathrm{\ne }0$ y $m\mathrm{\ne }2$, compatible indeterminado para $m=0$ e incompatible para $m=2$.



Para $m=1$ el sistema es compatible determinado, con

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=2\cdot 1^2-4\cdot 1=-2$

$\{\begin{array}{l}2x+y-z=1\\ x+y+z=2\\ -3x-y+z=-3\end{array}$

Lo resolvemos por la regla de Cramer.

$x={\displaystyle \frac{\mid \begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 2& 1& 1\\ -3& -1& 1\end{array}\mid }{-2}}={\displaystyle \frac{1-3+2-(3-1+2)}{-2}}={\displaystyle \frac{0-4}{-2}}=2$

$y={\displaystyle \frac{\mid \begin{array}{ccc}2& 1& -1\\ 1& 2& 1\\ -3& -3& 1\end{array}\mid }{-2}}={\displaystyle \frac{4-3+3-(6-6+1)}{-2}}={\displaystyle \frac{4-1}{-2}}=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$

$z={\displaystyle \frac{\mid \begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 1& 2\\ -3& -1& -3\end{array}\mid }{-2}}={\displaystyle \frac{-6-6-1-(-3-4-3)}{-2}}={\displaystyle \frac{-13+10}{-2}}={\displaystyle \frac{3}{2}}$

Comprobamos la solución en la segunda ecuación: $2-\frac{3}{2}+\frac{3}{2}=2$.

Para $m=1$ el sistema tiene solución única: $x=2$, $y=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$, $z={\displaystyle \frac{3}{2}}$.