Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Sea el sistema de ecuaciones lineales siguiente, que depende del parámetro real $\lambda$:

$\{\begin{array}{l}x+2\lambda y+(2+\lambda )z=0\\ (2+\lambda )x+y+2\lambda z=3\\ 2\lambda x+(2+\lambda )y+z=-3\end{array}$

a) Discuta el sistema para los diferentes valores del parámetro $\lambda$. [1,25 puntos]
b) Para el caso $\lambda =-1$, resuelva el sistema, interprételo geométricamente e identifique su solución. [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Discuta}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{diferentes}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{\lambda }\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Escribimos la matriz de coeficientes y la ampliada y aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius.

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2\lambda & 2+\lambda \\ 2+\lambda & 1& 2\lambda \\ 2\lambda & 2+\lambda & 1\end{array}\right),A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 2\lambda & 2+\lambda & 0\\ 2+\lambda & 1& 2\lambda & 3\\ 2\lambda & 2+\lambda & 1& -3\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=1+8{\lambda }^3+(2+\lambda {)}^3-3\cdot 2\lambda (2+\lambda )$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=1+8{\lambda }^3+8+12\lambda +6{\lambda }^2+{\lambda }^3-12\lambda -6{\lambda }^2=9{\lambda }^3+9$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=9({\lambda }^3+1)=9(\lambda +1)({\lambda }^2-\lambda +1)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}\lambda +1=0\Rightarrow \lambda =-1\\ {\lambda }^2-\lambda +1=0\Rightarrow \text{sin soluciones reales }(\mathrm{\Delta }=1-4=-3<0)\end{array}$

Si $\lambda \mathrm{\ne }-1$, entonces $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$ y

$\mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=3=\text{n}\acute{\text{u}}\text{mero de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}\Rightarrow \text{sistema compatible determinado.}$

Si $\lambda =-1$, la matriz ampliada es

$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& -2& 1& 0\\ 1& 1& -2& 3\\ -2& 1& 1& -3\end{array}\right)$

$\mid \begin{array}{cc}1& -2\\ 1& 1\end{array}\mid =1+2=3\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=2$

$\mid \begin{array}{ccc}1& -2& 0\\ 1& 1& 3\\ -2& 1& -3\end{array}\mid =-3+12+0-(0+3+6)=9-9=0\Rightarrow \mathrm{ran}(A^{\ast })=2$

$\mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=2<3=\text{n}\acute{\text{u}}\text{mero de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}\Rightarrow \text{sistema compatible indeterminado.}$

El sistema es compatible determinado para todo $\lambda \mathrm{\ne }-1$ y compatible indeterminado para $\lambda =-1$; no es incompatible para ningún valor del parámetro.



Para $\lambda =-1$ el sistema es

$\{\begin{array}{l}x-2y+z=0\\ x+y-2z=3\\ -2x+y+z=-3\end{array}$

Como el rango es 2, sobra una ecuación. Nos quedamos con las dos primeras, que son las del menor no nulo, y pasamos $z$ al segundo miembro.

$\{\begin{array}{l}x-2y=-z\\ x+y=3+2z\end{array}$

Restando la primera de la segunda:

$3y=3+3z\Rightarrow y=z+1$

$x=3+2z-y=3+2z-(z+1)=z+2$

$\{\begin{array}{l}x=2+{\lambda }^{\mathrm{\prime }}\\ y=1+{\lambda }^{\mathrm{\prime }}\\ z={\lambda }^{\mathrm{\prime }}\end{array}{\lambda }^{\mathrm{\prime }}\in \mathbb{R}$

Interpretación geométrica: cada ecuación es un plano del espacio. Sus vectores normales, $(1,-2,1)$, $(1,1,-2)$ y $(-2,1,1)$, no son proporcionales dos a dos, así que los tres planos son distintos y no hay ninguna pareja de planos paralelos. Al ser el sistema compatible indeterminado con un solo parámetro, los tres se cortan a la vez en una recta: forman un haz de planos cuya arista es esa recta.

$r:(x,y,z)=(2,1,0)+{\lambda }^{\mathrm{\prime }}(1,1,1),{\lambda }^{\mathrm{\prime }}\in \mathbb{R}$

Para $\lambda =-1$ el sistema tiene infinitas soluciones, que son los puntos de la recta $r$ que pasa por $(2,1,0)$ y tiene vector director $(1,1,1)$: es la recta en la que se cortan los tres planos.