Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Cuestión 1.

Considere el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro $a$:
$\{\begin{array}{l}ax+y+z=4\\ x-ay+z=1\\ x+y+z=a+2\end{array}$

a) [0,75 p.] Determine para qué valores de $a$ el sistema tiene solución única.

b) [1 p.] Determine para qué valor de $a$ el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvalo en ese caso.

c) [0,75 p.] Determine para qué valor de $a$ el sistema no tiene solución.

Aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius, y para ello lo primero es el determinante de la matriz de coeficientes.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}a& 1& 1\\ 1& -a& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\mid =a(-a-1)-(1-1)+(1+a)=1-a^2$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=-(a-1)(a+1)=0\Rightarrow a=1\text{ o }a=-1$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{p.]}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{a}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{nica.}}$

Mientras el determinante no se anule, el rango de la matriz de coeficientes es máximo y el de la ampliada no puede ser mayor.

$a\mathrm{\ne }1\text{ y }a\mathrm{\ne }-1\Rightarrow \text{ rg}(A)=\text{rg}(A^{\ast })=3=\text{n}\acute{\text{u}}\text{mero de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

El sistema es compatible determinado y tiene solución única para todo valor de $a$ distinto de 1 y de $-1$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{p.]}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathit{a}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{infinitas}}\mathbf{\text{soluciones}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{resu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lvalo}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{caso.}}$

Estudiamos el primero de los dos valores críticos. Para $a=-1$ la matriz ampliada queda

$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}-1& 1& 1& 4\\ 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1\end{array}\right)$

Las dos últimas filas son idénticas, así que la tercera ecuación no aporta nada. Con el menor

$\mid \begin{array}{cc}-1& 1\\ 1& 1\end{array}\mid =-2\mathrm{\ne }0$

se tiene $\text{rg}(A)=\text{rg}(A^{\ast })=2<3$: el sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad. Nos quedamos con las dos ecuaciones independientes y las restamos:

$2x=1-4=-3\Rightarrow x=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$

Tomamos $z=\lambda$ como parámetro y despejamos $y$:

$y=1-x-z={\displaystyle \frac{5}{2}}-\lambda$

Para $a=-1$ hay infinitas soluciones, los puntos $(-{\displaystyle \frac{3}{2}},{\displaystyle \frac{5}{2}}-\lambda ,\lambda )$ con $\lambda$ real.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{p.]}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathit{a}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}$

Queda el otro valor crítico. Para $a=1$ la matriz ampliada es

$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 4\\ 1& -1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 3\end{array}\right)$

El rango de la matriz de coeficientes vale 2, porque su determinante se anula y el menor $\mid \begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\mid =-2$ no. Orlamos con la columna de términos independientes:

$\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 4\\ 1& -1& 1\\ 1& 1& 3\end{array}\mid =-4-2+8=2\mathrm{\ne }0\Rightarrow \text{ rg}(A^{\ast })=3$

Los rangos no coinciden, luego para $a=1$ el sistema es incompatible. Se ve también de forma directa: las ecuaciones primera y tercera dicen a la vez $x+y+z=4$ y $x+y+z=3$.