Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2022

4. Análisis
Obtenga la función $f$, sabiendo que $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=2x-{\mathrm{e}}^{-x}$ y que la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x=0$ es $y=3x-1$.

La recta tangente en $x=0$ aporta dos datos: su ordenada en el origen es el valor de la función y su pendiente es el valor de la derivada.

$f(0)=3\cdot 0-1=-1f^{\mathrm{\prime }}(0)=3$

Integramos una primera vez para recuperar $f^{\mathrm{\prime }}$.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\int (2x-e^{-x})dx=x^2+e^{-x}+C_1$

Imponemos la condición sobre la derivada:

$f^{\mathrm{\prime }}(0)=0+e^0+C_1=1+C_1=3\Rightarrow C_1=2$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=x^2+e^{-x}+2$

Integramos una segunda vez.

$f(x)=\int (x^2+e^{-x}+2)dx={\displaystyle \frac{x^3}{3}}-e^{-x}+2x+C_2$

Imponemos ahora la condición sobre la función:

$f(0)=0-e^0+0+C_2=-1+C_2=-1\Rightarrow C_2=0$

Finalmente, la función buscada es

$f(x)={\displaystyle \frac{x^3}{3}}-e^{-x}+2x$

Se comprueba que $f(0)=-1$ y $f^{\mathrm{\prime }}(0)=0+1+2=3$, de acuerdo con la recta tangente dada.