Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2024

PREGUNTA 4. Análisis. (2 puntos)
Determine el valor del número positivo $a$ que hace que el área de la región encerrada por la recta $y=-2x$ y la parábola $y=a{x}^2+4x$ sea igual a 9 unidades cuadradas.

Localizamos primero los límites de integración, que son las abscisas de los puntos de corte entre las dos curvas.

$-2x=a{x}^2+4x\Rightarrow a{x}^2+6x=0\Rightarrow x(ax+6)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0\\ x=-{\displaystyle \frac{6}{a}}\end{array}$

Como $a>0$, la abscisa $-\frac{6}{a}$ es negativa y el intervalo de integración es $[-\frac{6}{a},0]$.



Averiguamos cuál de las dos curvas queda por encima evaluando la diferencia en un punto interior, por ejemplo en $x=-\frac{3}{a}$:

$(-2x)-(a{x}^2+4x)=-a{x}^2-6x$

${[-a{x}^2-6x]}_{x=-3\mathrm{/}a}=-a\cdot {\displaystyle \frac{9}{a^2}}+{\displaystyle \frac{18}{a}}=-{\displaystyle \frac{9}{a}}+{\displaystyle \frac{18}{a}}={\displaystyle \frac{9}{a}}>0$

La recta queda por encima de la parábola en todo el intervalo, de modo que el área es la integral de la recta menos la parábola.

$A={\int }_{-6\mathrm{/}a}^0(-a{x}^2-6x)dx={[-{\displaystyle \frac{a{x}^3}{3}}-3x^2]}_{-6\mathrm{/}a}^0$

$A=0-[-{\displaystyle \frac{a}{3}}\cdot (-{\displaystyle \frac{216}{a^3}})-3\cdot {\displaystyle \frac{36}{a^2}}]=-[{\displaystyle \frac{72}{a^2}}-{\displaystyle \frac{108}{a^2}}]={\displaystyle \frac{36}{a^2}}$

Imponemos que el área valga 9 unidades cuadradas.

${\displaystyle \frac{36}{a^2}}=9\Rightarrow a^2=4\Rightarrow a=\pm 2$

Se descarta la solución negativa porque el enunciado pide un número positivo. El valor buscado es $a=2$.