Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2024

PREGUNTA 3. Análisis. (2 puntos)

a) Enuncie los teoremas de Rolle y de Bolzano.
b) Calcule ${\displaystyle \int x^3{e}^{x^2}}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Enuncie}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{teoremas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Rolle}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Bolzano.}}$

Teorema de Rolle: si una función $f$ es continua en el intervalo cerrado $[a,b]$, derivable en el abierto $(a,b)$ y toma el mismo valor en los extremos, $f(a)=f(b)$, entonces existe al menos un punto $c\in (a,b)$ tal que $f^{\mathrm{\prime }}(c)=0$. Geométricamente significa que hay al menos un punto interior con tangente horizontal.

Teorema de Bolzano: si una función $f$ es continua en el intervalo cerrado $[a,b]$ y toma valores de signo contrario en los extremos, es decir $f(a)\cdot f(b)<0$, entonces existe al menos un punto $c\in (a,b)$ tal que $f(c)=0$. Geométricamente, la gráfica corta al eje $x$ al menos una vez dentro del intervalo.



Separamos un factor $x$ para preparar el cambio de variable, ya que la derivada de $x^2$ es $2x$.

$\int x^3{e}^{x^2}dx=\int x^2{e}^{x^2}xdx\{\begin{array}{l}t=x^2\\ dt=2xdx\Rightarrow xdx={\displaystyle \frac{dt}{2}}\end{array}$

$\int x^3{e}^{x^2}dx={\displaystyle \frac{1}{2}}\int t{e}^{t}dt$

La integral que queda se resuelve por partes.

$\int t{e}^{t}dt\{\begin{array}{ll}u=t& du=dt\\ dv=e^{t}dt& v=e^t\end{array}\Rightarrow \int t{e}^{t}dt=t{e}^t-\int e^{t}dt=t{e}^t-e^t$

Deshacemos el cambio de variable:

$\int x^3{e}^{x^2}dx={\displaystyle \frac{1}{2}}(t{e}^t-e^t)+C={\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{x^2}(x^2-1)+C$

Se comprueba derivando: ${[\frac{1}{2}{e}^{x^2}(x^2-1)]}^{\mathrm{\prime }}=\frac{1}{2}[2x{e}^{x^2}(x^2-1)+2x{e}^{x^2}]=x^3{e}^{x^2}$.