Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2020

Ejercicio A4
Dibujar la región encerrada por $f(x)=x^2-2x+1$ y $g(x)=-x^2+5$, y calcular el área de dicha región.

La primera es una parábola con las ramas hacia arriba y la segunda con las ramas hacia abajo. Localizamos sus vértices y sus puntos de corte.

$f(x)=x^2-2x+1=(x-1{)}^2\Rightarrow V_f(1,0)$

$g(x)=-x^2+5\Rightarrow V_g(0,5)$

Igualamos ambas ecuaciones:

$x^2-2x+1=-x^2+5\Rightarrow 2x^2-2x-4=0\Rightarrow x^2-x-2=0$

$(x-2)(x+1)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=-1\\ x=2\end{array}$

$x=-1\Rightarrow y=4;x=2\Rightarrow y=1$

Se cortan, pues, en $(-1,4)$ y $(2,1)$. Evaluando en un punto intermedio se ve cuál va por encima:

$\text{Si }x=0:5>1$

La región está limitada por arriba por la parábola $g(x)=-x^2+5$ y por abajo por $f(x)=x^2-2x+1$, entre las abscisas $x=-1$ y $x=2$.



$\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dicha}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}$

El área se obtiene integrando entre las abscisas de los cortes la diferencia entre la función que va por arriba y la que va por abajo, y aplicando la regla de Barrow.

$\mathcal{A}={\int }_{-1}^2[(-x^2+5)-(x^2-2x+1)]dx$

Simplificamos el integrando:

$(-x^2+5)-(x^2-2x+1)=-2x^2+2x+4$

${\int }_{-1}^2(-2x^2+2x+4)dx={[-{\displaystyle \frac{2x^3}{3}}+x^2+4x]}_{-1}^2$

$=(-{\displaystyle \frac{16}{3}}+4+8)-({\displaystyle \frac{2}{3}}+1-4)$

$=(12-{\displaystyle \frac{16}{3}})-({\displaystyle \frac{2}{3}}-3)={\displaystyle \frac{20}{3}}+{\displaystyle \frac{7}{3}}={\displaystyle \frac{27}{3}}=9$

El área de la región es de $9$ unidades de área.